5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB>AC$. Demuestra que existe un punto $D$ con la siguiente propiedad: siempre que dos puntos distintos $X$ e $Y$ estén en el interior de $ABC$ tales que los puntos $B$, $C$, $X$ e $Y$ estén sobre una circunferencia y se cumpla $$ \angle AXB-\angle ACB=\angle CYA-\angle CBA, $$ la recta $XY$ pasa por $D$.

4 Sea $S=\{2025,2026,2027,\dots\}$ el conjunto de enteros mayores que $2024$. ¿Existe una coloración del conjunto $S$ con los colores rojo, azul y verde tal que se satisfagan las siguientes condiciones? Cada uno de los tres colores se usa al menos una vez. Siempre que dos números distintos $a$ y $b$ en $S$ estén coloreados con colores diferentes, el número $\text{gdc(a,b)}+\text{lcm(a,b)}$ esté coloreado con el tercer color.

¿Existe un entero positivo $n$ tal que $\{\sqrt{n}\}$ comienza con los dígitos $2025$? Observación: $\{x\}$ denota la parte fraccionaria de $x$. Por ejemplo, $\{\sqrt{2}\} = 0.414213\ldots$, que comienza con los dígitos $4142$.

En la siguiente multiplicación, cada letra debe reemplazarse por un dígito, de modo que letras idénticas correspondan a dígitos idénticos y la multiplicación sea correcta. Da todas las posibilidades. $$\begin{array}{cccc} & a & b & c \\ \times & & & 9 \\ \hline a & c & b & c \end{array}$$

2 La figura está compuesta por $25$ cuadrados de $1\times 1$, dispuestos en una sola pieza. (Forman una L, compuesta por $13$ cuadrados apuntando hacia arriba y $13$ cuadrados apuntando hacia la derecha). Un corte solo puede hacerse a lo largo de una de las líneas de la cuadrícula. Encuentra el número mínimo de cortes que deben hacerse para que, con todas las piezas resultantes, se pueda formar un cuadrado de $5 \times 5$. Muestra cómo se arma el cuadrado y explica por qué no se puede hacer con menos cortes.

En cada vértice de un polígono regular de $12$ lados se debe escribir un entero positivo de modo que se cumpla la siguiente condición: siempre que un número se sume a sus dos números vecinos, el resultado sea igual a $31$. Los números pueden repetirse. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

5 Inicialmente, el número \(3\) está escrito en el pizarrón. Ana y Beto se turnan, empezando Ana. En cada turno, un jugador debe escribir un número entero mayor que el último número escrito y menor o igual que el cuadrado del último número escrito. Por ejemplo, en su primer turno, Ana podría escribir \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\) o \(9\). El primer jugador que escriba \(1,000,000\) gana el juego. Determina cuál de los dos jugadores tiene una estrategia que garantiza la victoria, sin importar cómo juegue su oponente. Describe esta estrategia.

Dado un entero $n \geqslant 2$ . Suponga que hay un punto $P$ en el interior de un $2n$ -ágono cíclico convexo $A_1 \ldots A_{2n}$ que satisface $$\angle PA_1A_2 = \angle PA_2A_3 = \ldots = \angle PA_{2n}A_1,$$ demuestre que $$ \prod_{i=1}^{n} \left|A_{2i - 1}A_{2i} \right| = \prod_{i=1}^{n} \left|A_{2i}A_{2i+1} \right|,$$ donde $A_{2n + 1} = A_1$ .

(1) Sean $a,b$ enteros positivos coprimos. Demuestre que existen constantes $\lambda$ y $\beta$ tales que para todos los enteros $m$ , $$\left| \sum\limits_{k=1}^{m-1} \left\{ \frac{ak}{m} \right\}\left\{ \frac{bk}{m} \right\} - \lambda m \right| \le \beta$$ (2) Demuestre que existe $N$ tal que para todo $p>N$ (donde $p$ es un número primo) y cualesquiera enteros positivos $a,b,c$ que satisfacen $p\nmid (a+b)(b+c)(c+a)$ , hay al menos $\lfloor \frac{p}{12} \rfloor$ soluciones $k\in \{1,\cdots,p-1\}$ tales que $$ \left\{\frac{ak}{p}\right\} + \left\{\frac{bk}{p}\right\} + \left\{\frac{ck}{p}\right\} \le 1 $$

3 Los $2018$ residentes de una aldea están estrictamente divididos en dos clases: caballeros, que siempre dicen la verdad, y mentirosos, que siempre mienten. Un día todos los residentes se colocaron en círculo y cada uno anunció en voz alta: "Ambos de mis vecinos, el de mi izquierda y el de mi derecha, son mentirosos." Después de eso, uno de los residentes abandonó la aldea. Los $2017$ residentes restantes se colocaron de nuevo en círculo (no necesariamente en el mismo orden que antes) y cada uno anunció en voz alta: "Ninguno de mis vecinos, ni el de mi izquierda ni el de mi derecha, es de mi misma clase." Determina, si es posible, a qué clase pertenecía el residente que abandonó la aldea: ¿caballero o mentiroso?