Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2003 Problema 5
5 Demuestre que todo entero positivo es igual a una diferencia de dos enteros positivos con el mismo número de divisores primos.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2003 Problema 6
6 Los números reales x y у satisfacen las ecuaciones $$\begin{cases} \sqrt{3x}\left(1+\dfrac{1}{x+y}\right)=2 \\ \\ \sqrt{7y}\left(1-\dfrac{1}{x+y}\right)=4\sqrt2 \end{cases}$$ Halle el valor numérico de la razón $y/x$ .
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Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la BMO 2016 Problema 1
1 Una recta se llama $good$ si biseca el perímetro y el área de una figura al mismo tiempo. Demuestre que: a) todas las rectas good de un triángulo son concurrentes. b) todas las rectas good de un polígono regular también son concurrentes.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2003 Problema 7
7 El triángulo $ABC$ es isósceles con $AB=BC$ . El punto F en el lado $[BC]$ y el punto $D$ en el lado $AC$ son los pies de la bisectriz interior trazada desde $A$ y de la altura trazada desde $B$ respectivamente, de modo que $AF=2BD$ . Halle la medida del ángulo $ABC$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2003 Problema 8
8 En el sistema de coordenadas rectangulares, todo punto con coordenadas enteras se llama punto reticular. Sea $P_n(n, n + 5)$ un punto reticular y denotemos por $f(n)$ el número de puntos reticulares en el segmento abierto $(OP_n)$ , donde el punto $0(0,0)$ es el origen del sistema de coordenadas. Calcule el número $f(1) +f(2) + f(3) + ...+ f(2002) + f(2003)$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2001 Problema 1
1 Sobre una circunferencia consideramos un conjunto $M$ formado por $n$ ( $n \ge 3$ ) puntos, de los cuales solo uno está coloreado de rojo. Determine cuáles de los polígonos inscritos en la circunferencia con vértices en el conjunto $M$ son más: los que contienen el punto rojo o los que no lo contienen. ¿Cuántos más hay que los otros?
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2001 Problema 2
2 Resuelva en $R$ la ecuación $[x] \cdot \{x\} = 2001 x$ , donde $ [ .]$ y $\{ .\}$ representan respectivamente las funciones piso y parte entera.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2001 Problema 3
3 Sea el cuadrilátero convexo $ABCD$ con $AD = BC$ y $\angle A + \angle B = 120^o$ . Tome un punto $P$ en el plano de modo que la recta $CD$ separe los puntos $A$ y $P$ , y el triángulo $DCP$ sea equilátero. Demuestre que el triángulo $ABP$ es equilátero. ¿Es verdadera la afirmación para un cuadrilátero no convexo?
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2001 Problema 4
4 Determine el menor número natural $n =>2$ con la propiedad: para todos los enteros positivos $a_1, a_2,. . . , a_n$ el producto de todas las diferencias $a_j-a_i$ , $1 <=i <j <=n$ , es divisible por 2001.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2001 Problema 5
5 Determine si existe un número natural no natural $n$ con la propiedad de que $\sqrt{n + 1} + \sqrt{n - 1}$ es racional.
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