4 En un $n$ -gono regular ( $n\geqslant4$ ) , cada diagonal se colorea con uno de dos colores. Luego, para cada par de diagonales que se intersecan del mismo color, se elimina una de estas diagonales. ¿Cuál es el número máximo posible de diagonales que pueden quedar después de estas operaciones? (Las diagonales que comparten un extremo común no se consideran que se intersecan.)

5 En el triángulo rectángulo $ ABC $ , el punto $ D $ es simétrico al punto $ C $ con respecto a la hipotenusa $ AB $ . Sea $ M $ un punto arbitrario del segmento $ AC $ , y sea $ P $ la base de la perpendicular desde el punto $ C $ a la recta $ BM $ . El punto $ H $ es el punto medio del segmento $ CD $ . Sobre el segmento $ CH $ (dentro del ángulo $ HPB $ ) hay un punto $ N $ tal que $ \angle DPH = \angle NPB $ . Demuestre que los puntos $ M $ , $ P $ , $ N $ y $ D $ están sobre la misma circunferencia.

6 Halle todos los enteros $a,b,c,k$ donde $k>0$ tales que $$a^2+b^2+c^2=3k(ab+bc+ca)$$

1 $a,b,c$ son positivos y $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ . Demuestre que $$\dfrac{b+c}{a+bc}+\dfrac{a+c}{b+ac}+\dfrac{b+a}{c+ab}\ge\dfrac{12}{a+b+c-1}$$ .

2 Sobre una cuadrícula infinita de cuadrados unitarios (con lado de longitud $1cm$ ) , se marcan $2019$ puntos en los puntos de la cuadrícula (intersecciones de la cuadrícula) de modo que la distancia entre cualesquiera dos puntos marcados es un número natural de centímetros. Demuestre que más de $333333$ de estas distancias son números naturales divisibles por $3$ .

3 El conjunto Φ consta de un número finito de puntos en el plano. La distancia entre cualesquiera dos puntos de Φ es al menos $\sqrt{2}$ . Se sabe que un triángulo regular de lado $3$ recortado de papel puede cubrir todos los puntos de Φ. ¿Cuál es el mayor número de puntos que puede tener Φ?

4 Sea $\mathbb{Q}$ el conjunto de todos los números racionales. Halle todas las funciones $f: \mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ tales que para todo $x, y\in\mathbb{Q}$ , $f(x+y)-f(y)=f(f(x-y)+f(y))$ .

5 En el círculo $ \omega $ , el diámetro $ AB $ y la cuerda $ CD $ son perpendiculares. Sea $ M $ cualquier punto del segmento $ AC $ . El punto $ P $ es la base de la perpendicular desde el punto $ C $ a la recta $ BM $ . Sea el círculo $ \omega_1 $ circunscrito alrededor del triángulo $ MPD $ que interseca por segunda vez a la circunferencia circunscrita del triángulo $ CPB $ en el punto $ Q $ (los puntos $ P $ y $ Q $ están en lados opuestos de la recta $ AB $ ) . La recta $ CD $ interseca de nuevo a $ \omega_1 $ en el punto $ N $ . Demuestre que $ \angle CQN = \angle BPN $ .

6 ¿Existen números primos $p,q,r$ tales que $$\frac{p^p+q^q+r^r}{2pqr}$$ es un entero ?

5 Dado un rectángulo cuadriculado de tamaño n × m. ¿Es siempre posible marcar $3$ o $4$ nodos de un rectángulo de modo que al menos uno de los nodos marcados esté sobre cada recta que contiene un lado del rectángulo, y el polígono no autointersecante con vértices en estos nodos tenga un área igual a $$\dfrac{1}{2}\min \left ( \text{gcd}(n, m), \dfrac{n+m}{\text{gcd}(n, m)} \right)$$ ?