3 Halle todas las funciones $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tales que para todos los reales $x$ e $y$ , \[f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y).\]

4 Hay cuatro rectas en el plano, sin tres concurrentes, sin dos paralelas y sin tres que formen un triángulo equilátero. Si una de ellas es paralela a la recta de Euler del triángulo formado por las otras tres rectas, demuestre que un enunciado similar se cumple para cada una de las otras rectas.

5 En la recta numérica real, pinte de rojo todos los puntos que corresponden a enteros de la forma $81x+100y$ , donde $x$ e $y$ son enteros positivos. Pinte de azul los puntos enteros restantes. Halle un punto $P$ de la recta tal que, para todo punto entero $T$ , la reflexión de $T$ respecto a $P$ sea un punto entero de un color distinto al de $T$ .

6 Un zigzag en el plano consiste en dos semirrectas paralelas unidas por un segmento de recta. Halle $z_n$ , el número máximo de regiones en las que $n$ zigzags pueden dividir el plano. Por ejemplo, $z_1=2,z_2=12$ (véase el diagrama). De estas $z_n$ regiones, ¿cuántas están acotadas? [Los zigzags pueden ser tan estrechos como se quiera.] Exprese sus respuestas como polinomios en $n$ de grado no mayor que $2$ . [asy] draw((30,0)--(-70,0), Arrow); draw((30,0)--(-20,-40)); draw((-20,-40)--(80,-40), Arrow); draw((0,-60)--(-40,20), dashed, Arrow); draw((0,-60)--(0,15), dashed); draw((0,15)--(40,-65),dashed, Arrow); [/asy]

7 $p$ es un polinomio con coeficientes enteros y para todo natural $n$ se tiene $p(n)>n$ . $x_k $ es una sucesión tal que: $x_1=1, x_{i+1}=p(x_i)$ y, para todo $N$ , alguno de los $x_i$ es divisible por $N.$ Demuestre que $p(x)=x+1$ Omid

8 Sea $ABC$ un triángulo, y sean $r, r_1, r_2, r_3$ su inradio y los exradios opuestos a los vértices $A,B,C$ , respectivamente. Suponga que $a>r_1, b>r_2, c>r_3$ . Demuestre que (a) el triángulo $ABC$ es acutángulo, (b) $a+b+c>r+r_1+r_2+r_3$ .

9 Sea $n$ un entero positivo y $\{A,B,C\}$ una partición de $\{1,2,\ldots,3n\}$ tal que $|A|=|B|=|C|=n$ . Demuestre que existen $x \in A$ , $y \in B$ , $z \in C$ tales que uno de $x,y,z$ es la suma de los otros dos.

10 Sea $n$ un entero positivo mayor que $1$ , y sea $p$ un primo tal que $n$ divide a $p-1$ y $p$ divide a $n^3-1$ . Demuestre que $4p-3$ es un cuadrado.

1 Sean $x$ , $y$ , $z>0$ . Demuestre que si $xyz\geq xy+yz+zx$ , entonces $xyz \geq 3(x+ y+z)$ .

2 Dos símbolos $A$ y $B$ obedecen la regla $ABBB = B$ . Dada una palabra $x_1x_2\ldots x_{3n+1}$ formada por $n$ letras $A$ y $2n+1$ letras $B$ , demuestre que existe una única permutación cíclica de esta palabra que se reduce a $B$ .