2 Dada una sucesión $\{a_n\}$ : $a_1=1, a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{lcr} a_n+n,\quad a_n\le n, \\ a_n-n,\quad a_n>n, \end{array} \right. \quad n=1,2,\cdots.$ Halle el número de enteros positivos $r$ que satisfacen $a_r<r\le 3^{2017}$ .

3 Cada casilla de una cuadrícula de $33\times 33$ se colorea con uno de tres colores: rojo, amarillo o azul, de modo que las cantidades de casillas de cada color sean iguales. Si dos casillas que comparten una arista común tienen colores distintos, llámese a esa arista común arista separadora. Halle el número mínimo de aristas separadoras en la cuadrícula.

4 Sean $m,n$ enteros mayores que 1 , $m \geq n$ , $a_1,a_2,\dots,a_n$ son $n$ números distintos que no exceden $m$ y son primos relativos. Demuestre que para cualquier real $x$ , existe $i$ para el cual $||a_ix|| \geq \frac{2}{m(m+1)} ||x||$ , donde $||x||$ denota la distancia entre $x$ y el entero más cercano a $x$ .

$p$$p=12k+\{2,3,5,7,8,11\}$$k \in \mathbb N \cup \{0\}$$p^2$$\frac{100}{6}$

10 Sean $x_1,x_2,x_3\geq 0$ y $x_1+x_2+x_3=1$ . Halle el valor mínimo y el valor máximo de $(x_1+3x_2+5x_3)\left(x_1+\frac{x_2}{3}+\frac{x_3}{5}\right).$ .

1 Sean $a,b \in \mathbb R,f(x)=ax+b+\frac{9}{x}.$ . Demuestre que existe $x_0 \in \left[1,9 \right],$ tal que $|f(x_0)| \ge 2.$ .

1 Sean $a_1, a_2, \ldots, a_{2016}$ números reales tales que $9a_i\ge 11a^2_{i+1}$ $(i=,2,\cdots,2015)$ . Halle el valor máximo de $(a_1-a^2_2)(a_2-a^2_3)\cdots (a_{2015}-a^2_{2016})(a_{2016}-a^2_{1}).$ .

2 Sean $X,Y$ dos puntos que se encuentran sobre la recta $BC$ del $\triangle ABC(X,B,C,Y\text{lies in sequence})$ tales que $BX\cdot AC=CY\cdot AB$ , $O_1,O_2$ son los circuncentros de $\triangle ACX,\triangle ABY$ , $O_1O_2\cap AB=U,O_1O_2\cap AC=V$ . Demuestre que $\triangle AUV$ es un triángulo isósceles.

3 Dados $10$ puntos en el espacio tales que cualesquiera $4$ puntos no se encuentran sobre un plano. Conecte algunos puntos con algunos segmentos de modo que no haya triángulos ni cuadriláteros. Halle el número máximo de segmentos.

4 Sean $p>3$ y $p+2$ números primos, y defina la sucesión $$a_{1}=2,a_{n}=a_{n-1}+\lfloor \dfrac{pa_{n-1}}{n}\rfloor$$ Demuestre que: para cualquier $n=3,4,\cdots,p-1$ se tiene $$n|pa_{n-1}+1$$ .