B6 Sea $H$ un subgrupo con $h$ elementos en un grupo $G$. Supón que $G$ tiene un elemento $a$ tal que para todo $x$ en $H$, $(xa)^3=1$, la identidad. En $G$, sea $P$ el subconjunto de todos los productos $x_1ax_2a\dots x_na$, con $n$ un entero positivo y los $x_i$ en $H$. (a) Muestra que $P$ es un conjunto finito. (b) Muestra que, de hecho, $P$ tiene a lo más $3h^2$ elementos.

Evalúa \[ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left(\left[\frac{2n}{k}\right] -2\left[\frac{n}{k}\right]\right) \] y expresa tu respuesta en la forma \(\log a-b,\) con \(a\) y \(b\) enteros positivos. Aquí \([x]\) se define como el entero tal que \([x] \leq x <[x]+1\) y \(\log x\) es el logaritmo de \(x\) en base \(e.\)

Supón que $G$ es un grupo generado por los elementos $A$ y $B$, es decir, todo elemento de $G$ se puede escribir como una "palabra" finita $A^{n_1}B^{n_2}A^{n_3}\dots B^{n_k},$ donde $n_1,\dots n_k$ son enteros cualesquiera, y $A^0=B^0=1$ como es usual. Supón también que $A^4=B^7=ABA^{-1}B=1, A^2\neq 1,$ y $B\neq 1.$ (a) ¿Cuántos elementos de $G$ son de la forma $C^2$ con $C$ en $G$? (b) Escribe cada uno de esos cuadrados como una palabra en $A$ y $B.$

3. Supón que tenemos $n$ eventos $A_1,\dots, A_n,$ cada uno con probabilidad de ocurrir al menos $1-a$, donde $a<1/4.$ Supón además que $A_i$ y $A_j$ son mutuamente independientes si $|i-j|>1.$ Asume como conocido que la recurrencia $u_{k+1}=u_k-au_{k-1}, u_0=1, u_1=1-a,$ define números reales positivos $u_k$ para $k=0,1,\dots.$ Demuestra que la probabilidad de que ocurran todos los eventos $A_1,\dots, A_n$ es al menos $u_n.$

4 Para un punto $P$ sobre una elipse, sea $d$ la distancia desde el centro de la elipse hasta la recta tangente a la elipse en $P.$ Demuestra que $(PF_1)(PF_2)d^2$ es constante cuando $P$ varía sobre la elipse, donde $PF_1$ y $PF_2$ son las distancias desde $P$ hasta los focos $F_1$ y $F_2$ de la elipse.

5 En el plano $(x,y)$, si $R$ es el conjunto de puntos dentro y sobre un polígono convexo, sea $D(x,y)$ la distancia desde $(x,y)$ al punto más cercano de $R$. (a) Demuestra que existen constantes $a,b,c$, independientes de $R$, tales que $$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-D(x,y)} dxdy =a+bL+cA,$$ donde $L$ es el perímetro de $R$ y $A$ es el área de $R$. (b) Encuentra los valores de $a,b$ y $c$.

Como de costumbre, sea $\sigma (N)$ la suma de todos los divisores (enteros positivos) de $N.$ (Entre estos divisores se incluyen $1$ y el propio $N$.) Por ejemplo, si $p$ es primo, entonces $\sigma (p)=p+1.$ Motivado por la noción de número "perfecto", un entero positivo $N$ se llama "cuasiperfecto" si $\sigma (N) =2N+1.$ Demuestra que todo número cuasiperfecto es el cuadrado de un entero impar.

A1 Demuestra que un entero positivo $m$ es suma de dos números triangulares si y solo si $4m+1$ es suma de dos cuadrados.

A2 Describe la región $R$ que consiste en los puntos $(a,b)$ del plano cartesiano para los cuales ambas raíces (posiblemente complejas) del polinomio $z^2+az+b$ tienen valor absoluto menor que $1$.

A3 Sean $0<\alpha<\beta<\gamma\in\mathbb{R}$. Sea $K=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\;|\; x,y,z\geq 0\; \text{y}\; x^{\beta}+y^{\beta}+z^{\beta}=1\}$. Define $f:K\rightarrow\mathbb{R},\; (x,y,z)\mapsto x^{\alpha}+y^{\beta}+z^{\gamma}$. ¿En qué puntos de $K$ alcanza $f$ sus valores mínimo y máximo?