15 En una conferencia participan matemáticos de $11$ países distintos y tienen edades de valor entero entre $27$ y $33$ años (incluyendo $27$ y $33$ ) . Hay al menos un matemático de cada país, y hay al menos un matemático de cada edad posible entre $27$ y $33$ . Muestre que podemos encontrar al menos cinco matemáticos $m_1, \ldots, m_5$ tales que para cualquier $i \in \{1, \ldots, 5 \}$ haya más matemáticos en la conferencia que tienen la misma edad que $m_i$ que aquellos que tienen la misma nacionalidad que $m_i$ . Propuesto por S. Muralidharan Rijul

1 En un país hay algunas ciudades conectadas entre sí por caminos. Los caminos solo se encuentran entre sí dentro de las ciudades. En cada ciudad hay un cartel que muestra la menor longitud de un recorrido que parte de esa ciudad y pasa por todas las demás ciudades (el recorrido puede pasar por algunas ciudades más de una vez y no es necesario volver a la ciudad de partida). Demuestre que dos números cualesquiera de los carteles no pueden ser uno mayor ni menor que 1.5 veces el otro.

2 Hay $100$ números reales distintos cualesquiera correspondientes a $100$ puntos de una circunferencia. Demuestre que siempre se pueden elegir $4$ puntos consecutivos de modo que la suma de los dos números correspondientes a los puntos exteriores sea mayor que la suma de los dos números correspondientes a los dos puntos interiores. Ovchinnikov

2008.3 Considere una cometa $ABCD$ con $| AB | = | AD | <| CB | = | CD |$ . Sobre $[BC]$ elegimos $K$ de modo que $AK \parallel CD$ . A la intersección de $BD$ y $AK$ la llamamos $X$ . Sobre $[CD]$ elegimos $L$ tal que $XL \parallel BC$ . Demuestre que $\angle ABC = \angle AKL$ . //cdn.artofproblemsolving.com/images/0/3/6/036e58c67d3b989a892c948dbd24b87cab137acb.png

2 Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que el polinomio \[P(x)= \frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+...+x+1 \] no tiene ninguna raíz racional.

Dos circunferencias $\alpha{}$ y $\beta{}$ con centros $A{}$ y $B{}$ , respectivamente, se intersecan en los puntos $C{}$ y $D{}$ . El segmento $AB{}$ interseca a $\alpha{}$ y $\beta{}$ en los puntos $K{}$ y $L{}$ , respectivamente. El rayo $DK$ interseca a la circunferencia $\beta{}$ por segunda vez en el punto $N{}$ , y el rayo $DL$ interseca a la circunferencia $\alpha{}$ por segunda vez en el punto $M{}$ . Demuestre que el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero $KLMN$ coincide con el incentro del triángulo $ABC$ . Konstantin Knop

8 Las longitudes de los lados de un paralelogramo son $a, b$ y las diagonales tienen longitudes $x$ y $y$ . Sabiendo que $ab = \frac{xy}{2}$ , demuestre que $\left( a,b \right)=\left( \frac{x}{\sqrt{2}},\frac{y}{\sqrt{2}} \right)$ o $\left( a,b \right)=\left( \frac{y}{\sqrt{2}},\frac{x}{\sqrt{2}} \right)$ .

Sea un triángulo $ABC$ inscrito en $(O)$ con $2$ simedianas $AD, CF(D,F$ están sobre los lados $BC, AB,$ respectivamente $).$ El rayo $DF$ intersecta a $(O)$ en $P.$ La recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $OA$ intersecta a $AB,AC$ en $Q,R,$ respectivamente $.$ Calcule la razón $\dfrac{PR}{PQ}.$

2020.1 Una pirámide con vértice $T$ y base el triángulo $\vartriangle ABC$ tiene tres ángulos rectos en el vértice superior. Determine el área de la base si las áreas de las caras laterales son iguales a $8, 9$ y $12$ . https://1.bp.blogspot.com/-WSepFZgXTA8/X9pmZpa8JcI/AAAAAAAAM1w/puKKFEe3MiogRS1zxdNvfkC4iZCywa0NQCLcBGAsYHQ/s0/2020%2Bflanders%2Bj1.png

5 $X$ e $Y$ son dos puntos sobre el lado $BC$ de $\triangle{ABC}$ o sobre sus prolongaciones, tales que $\widehat{XAY} = 90$ . Sea $H$ el ortocentro de $\triangle{ABC}$ . Tome $X'$ e $Y'$ como los puntos de intersección de $(BH,AX)$ y $(CH,AY)$ respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita de $\triangle{CYY'}$ , la circunferencia circunscrita de $\triangle{BXX'}$ y $X'Y'$ son concurrentes.