Olimpiada del Cono Sur 1996 Problema 6
6 Encuentra todos los enteros \( n \leq 3 \) tales que existe un conjunto \( S_n \) formado por \( n \) puntos del plano que satisfacen las siguientes dos condiciones: Cualesquiera tres puntos no son colineales. Ningún punto se encuentra dentro del círculo cuyo diámetro tiene extremos en cualesquiera dos puntos de \( S_n \). NOTA: Los puntos sobre la circunferencia no se consideran dentro del círculo.
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Olimpiada Tuymaada 1997 Problema 6
¿Existen $14$ enteros positivos consecutivos, cada uno de los cuales tiene un divisor distinto de $1$ y que no exceda $11$?
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Mediterranean Mathematics Olympiad 2020 Problema 2
2 Sea $S$ un conjunto de $n\ge2$ enteros positivos. Demuestra que existen al menos $n^2$ enteros que pueden escribirse en la forma $x+yz$ con $x,y,z\in S$ . Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria
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Mediterranean Mathematics Olympiad 2020 Problema 3
3 Demuestra que todos los números reales positivos $a,b,c$ con $a+b+c=4$ satisfacen la desigualdad $$\frac{ab}{\sqrt[4]{3c^2+16}}+ \frac{bc}{\sqrt[4]{3a^2+16}}+ \frac{ca}{\sqrt[4]{3b^2+16}} \le\frac43 \sqrt[4]{12}$$
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Mediterranean Mathematics Olympiad 2020 Problema 4
4 Sean \(P,Q,R\) tres puntos en una circunferencia \(k_1\) con \(|PQ|=|PR|\) y \(|PQ|>|QR|\). Sea \(k_2\) la circunferencia con centro en \(P\) que pasa por \(Q\) y \(R\). La circunferencia con centro \(Q\) que pasa por \(R\) corta a \(k_1\) en otro punto \(X\ne R\) y corta a \(k_2\) en otro punto \(Y\ne R\). Los dos puntos \(X\) y \(R\) están en lados distintos de la recta que pasa por \(PQ\). Demuestra que los tres puntos \(P\), \(X\), \(Y\) están en una misma recta.
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Geometría de la Olimpiada Junior de Portugal (OPM) 2008 Problema 2008
2008.5 El rectángulo $[ABCD]$ representado en la figura, $AB=16$, $BC=12$ y $[AFCE]$ es un rombo. Determina $EF$. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/d/2/51c2540b3512b79309a9aa55fd912aafeb472a.png
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Olimpiada Tuymaada 1997 Problema 1
El producto de cualesquiera tres de estos cuatro números naturales es un cuadrado perfecto. Demuestra que estos números mismos son cuadrados perfectos.
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Olimpiada Tuymaada 1997 Problema 2
2 Resuelve en números naturales el sistema de ecuaciones $3x^2+6y^2+5z^2=1997$ y $3x+6y+5z=161$ .
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Olimpiada Tuymaada 1997 Problema 3
3 ¿Es posible pintar todos los números naturales con $6$ colores, de modo que cada color se use y la suma de cualesquiera cinco números de colores distintos esté pintada del sexto color?
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Olimpiada Tuymaada 1997 Problema 4
4 Usando únicamente un ángulo con medida $\frac{\pi}{7}$ y una regla, construye un ángulo de $\frac{\pi}{14}$.
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