Nivel 1 Cada respuesta correcta vale 1 punto.

Para cualquier \( n\in \mathbb{N} \), sea \( S_n \) el conjunto de todos los números naturales de la forma \( p_i^r+1 \) donde \( p_i \) es un primo, \( p_i | n \), y \( r \in \mathbb{N} \) con \( r < p_i - 1 \). Para cualquier número libre de cuadrados \( n \), \( f(n) \) es el número máximo que es divisible por \( n \) y tiene \( n \) divisores. Denota \( T_n = \displaystyle \sum_{m|n} f(m) \). Encuentra la suma de todos los \( n \) libres de cuadrados, donde todos los divisores primos de \( n \) son mayores que \( 1 \) y menores que \( 15 \), y ningún elemento de \( S_n \) es divisor propio de \( T_n \).

. En el triángulo $ABC$ , $AB=BC=29$ y $AC=42$ . Halle el área del triángulo $ABC$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $100$ & (B) $420$ & (C) $500$ & (D) $609$ & (E) $701$ \end{tabular} Q27. Halle la última cifra del número $5^{23} + 17^{17} + 2^{2023}$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $0$ & (B) $1$ & (C) $2$ & (D) $3$ & (E) $5$ \end{tabular} Q28. Calcule $1+3+5+\ldots+2021+2023-2-4-6-\ldots-2020-2022$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $1010$ & (B) $-1010$ & (C) $-1012$ & (D) $1012$ & (E) $1011$ \end{tabular} Q29. En una pirámide, una casilla recibe el signo $+$ si las dos casillas directamente debajo de ella tienen el mismo signo, y el signo $-$ si tienen signos diferentes. La pirámide que se muestra a continuación tiene $4$ niveles. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar los signos en las $4$ casillas inferiores para que la casilla superior tenga el signo $+$ ? [asy] size(6cm); defaultpen(miterjoin); path rect=box((0,0),(2,1)); draw(rect); draw(shift(2,0)*rect); draw(shift(4,0)*rect); draw(shift(6,0)*rect); draw(shift(1,1)*rect); draw(shift(3,1)*rect); draw(shift(5,1)*rect); draw(shift(2,2)*rect); draw(shift(4,2)*rect); draw(shift(3,3)*rect); label("$+$", (1,0.5)); label("$-$", (3,0.5)); label("$+$", (5,0.5)); label("$-$", (7,0.5)); label("$-$", (2,1.5)); label("$-$", (4,1.5)); label("$-$", (6,1.5)); label("$+$", (3,2.5)); label("$+$", (5,2.5)); label("$+$", (4,3.5)); [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $2$ & (B) $4$ & (C) $8$ & (D) $12$ & (E) $16$ \end{tabular} Q30. ¿Cuántos cubos perfectos hay entre $2^{8}+1$ y $2^{18}+1$ ? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $4$ & (B) $9$ & (C) $10$ & (D) $57$ & (E) $58$ \end{tabular}

. Las aristas de un paralelepípedo rectangular tienen longitudes $a$ , $b$ y $c$ , que son iguales a $5$ , $8$ y $10$ respectivamente. Halle la longitud de la diagonal espacial del paralelepípedo. \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $3\sqrt{21}$ & (B) $10\sqrt{3}$ & (C) $13$ & (D) $9\sqrt{19}$ & (E) $12\sqrt{2}$ \end{tabular} Q2. Resuelva el acertijo: $C.BA+A.AA=B.A$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $A=0, B=2, C=6$ & (B) $A=5, B=3, C=8$ & (C) $A=5, B=9, C=3$ & (D) $A=2, B=5, C=4$ & (E) $A=0, B=1, C=7$ \end{tabular} Q3. En la figura siguiente, las tres formas azules son cuadrados; la forma naranja es un cuadrado de lado $18$ . El punto $A$ es el centro del círculo verde, y el punto $B$ es el centro del círculo rojo. Halle la longitud del segmento $CD$ . [asy] size(6cm); defaultpen(miterjoin); pair B=(0,0), A=(24,0), C=(0,18), D=(0,30); path wA=circle(A,24), wB=circle(B,30); filldraw(shift(A)*scale(6)*unitsquare, lightblue+opacity(0.5), blue); filldraw(shift(A+(0,6))*scale(6)*unitsquare, lightblue+opacity(0.5), blue); filldraw(shift(A+(0,12))*scale(6)*unitsquare, lightblue+opacity(0.5), blue); filldraw(shift(A+(6,0))*scale(18)*unitsquare, orange+opacity(0.5), orange); draw(wA, green); draw(wB, red); draw(B--A--(24,18)--C--cycle); draw(C--D); dot("$A$", A, SW, green); dot("$B$", B, SW, red); dot("$C$", C, W); dot("$D$", D, SW); label("$18$", (30,0)--(48,0)); [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $10$ & (B) $14$ & (C) $18$ & (D) $22$ & (E) $12$ \end{tabular} Q4. Un cuadrado mágico es una cuadrícula de $3\times3$ en la que las sumas de los números en cada fila, cada columna y ambas diagonales principales son iguales. La figura muestra un cuadrado mágico en el que se han borrado todos los números excepto tres. Halle el número en la esquina superior izquierda del cuadrado. [asy] unitsize(1cm); defaultpen(miterjoin); for(int i=0; i<3; ++i){ for(int j=0; j<3; ++j){ draw(shift(i,j)*unitsquare);}} label("$13$", (0.5,1.5), fontsize(16)); label("$?$", (0.5,2.5), fontsize(16)); label("$31$", (1.5,2.5), fontsize(16)); label("$9$", (2.5,2.5), fontsize(16)); [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $14$ & (B) $25$ & (C) $92$ & (D) $12$ & (E) $90$ \end{tabular} Q5. Un juego completo de $28$ fichas de dominó distintas se ordena de modo que el número de puntos en las mitades en contacto de fichas adyacentes sea el mismo en todas partes. En algunas mitades, el número de puntos ha sido completamente borrado. La configuración resultante se muestra en la figura siguiente (las mitades borradas podrían haber tenido originalmente cualquier número de puntos, incluido cero). ¿Cuántos puntos hay en cada mitad del dominó amarillo? [asy] unitsize(1cm); path[] dom=scale(0.1)*(arc((1,1), 1, -180, -90)--(19,0)--arc((19,1), 1, -90, 0)--(20,9)--arc((19,9), 1, 0, 90)--(1,10)--arc((1,9), 1, 90, 180)--cycle^^(10,1)--(10,9)); path[] dots=scale(0.1)*(circle((2,8),1)^^circle((5,8),1)^^circle((8,8),1)^^circle((5,5),1)^^circle((2,2),1)^^circle((5,2),1)^^circle((8,2),1)); void domino(int i, int j, pair P, bool b=false){ path[] h1,h2; if(i==1){ h1=dots[3];} if(i==2){ h1=dots[0]^^dots[6];} if(i==3){ h1=dots[0]^^dots[3]^^dots[6];} if(i==4){ h1=dots[0]^^dots[2]^^dots[4]^^dots[6];} if(i==5){ h1=dots[0]^^dots[2]^^dots[3]^^dots[4]^^dots[6];} if(i==6){ h1=dots[0]^^dots[1]^^dots[2]^^dots[4]^^dots[5]^^dots[6];} if(j==1){ h2=dots[3];} if(j==2){ h2=dots[0]^^dots[6];} if(j==3){ h2=dots[0]^^dots[3]^^dots[6];} if(j==4){ h2=dots[0]^^dots[2]^^dots[4]^^dots[6];} if(j==5){ h2=dots[0]^^dots[2]^^dots[3]^^dots[4]^^dots[6];} if(j==6){ h2=dots[0]^^dots[1]^^dots[2]^^dots[4]^^dots[5]^^dots[6];} draw(shift(b?(1,0):(0,0))*rotate(b?90:0, P)*shift(P)*dom); fill(shift(b?(1,0):(0,0))*rotate(b?90:0, P)*shift(P)*h1, black); fill(shift(b?(1,0):(0,0))*rotate(b?90:0, P)*shift(P+(1,0))*h2, black);} int c=0; for(int i=0; i<7; ++i){ for(int j=i; j<7; ++j){ domino(i,j,(3*(c-c%7)/7,1.5*(6-c%7))); ++c;}} domino(5,0,(14,9)); draw(shift(16,9)*dom); draw(shift(18,10)*rotate(-90)*dom); draw(shift(18,8)*rotate(-90)*dom); draw(shift(17,5)*dom); draw(shift(15,5)*dom); domino(0,4,(14,4),true); draw(shift(14,4)*rotate(-90)*dom); draw(shift(14,2)*rotate(-90)*dom); draw(shift(15,0)*dom); domino(0,3,(17,0)); draw(shift(21,10)*rotate(-90)*dom); draw(shift(21,8)*rotate(-90)*dom); domino(2,0,(21,5)); draw(shift(23,5)*dom); domino(0,3,(25,5)); draw(shift(22,9)*dom); draw(shift(24,9)*dom); draw(shift(26,10)*rotate(-90)*dom); draw(shift(26,8)*rotate(-90)*dom); draw(shift(21,5)*rotate(-90)*dom); draw(shift(21,3)*rotate(-90)*dom); draw(shift(21,0)*dom); draw(shift(23,0)*dom); domino(1,0,(25,0)); draw(shift(26,3)*rotate(-90)*dom); draw(shift(26,5)*rotate(-90)*dom); fill(shift(19,9)*dom[0], yellow); draw(shift(19,9)*dom); label("$A$", (19.5,9.5), fontsize(16)); label("$B$", (20.5,9.5), fontsize(16)); [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $A=2, B=4$ & (B) $A=5, B=6$ & (C) $A=8, B=2$ & (D) $A=5, B=2$ & (E) $A=2, B=5$ \end{tabular} Q6. Un número primo $p$ es tal que $p+25$ es la séptima potencia de un número primo. ¿Cuáles son todos los valores posibles de $p$ ? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $771$ & (B) $299$ & (C) $103$ & (D) $527$ & (E) $1307$ \end{tabular} Q7. Un triángulo obtusángulo $ABC$ tiene un ángulo obtuso en $C$ . Los puntos $P$ y $Q$ están sobre los lados $AB$ y $BC$ , respectivamente, tales que $\angle ACP=\angle CPQ=90^{\circ}$ . Halle la longitud del segmento $PQ$ si $AC=25$ , $CP=20$ y $\angle APC=\angle A+\angle B$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $12$ & (B) $16$ & (C) $20$ & (D) $42$ & (E) $17$ \end{tabular} Q8. Simplifique la expresión $x^{4}+7x^{3}-21x^{2}-27x$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $(x-1)(x-2)(x+7)x$ & (B) $(x+1)(x-3)(x+9)$ & (C) $(x+1)(x-3)(x+9)x$ & (D) $(x-1)(x+3)(x+9)x$ & (E) $(x+3)(x-1)(x+9)$ \end{tabular} Q9. La suma de tres divisores positivos distintos de un entero positivo impar $n$ es $10327$ . ¿Cuál es el menor valor posible de $n$ ? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $10327$ & (B) $15633$ & (C) $8725$ & (D) $6735$ & (E) $9817$ \end{tabular} Q10. Sobre una circunferencia $\omega$ , los puntos $B$ y $D$ están en lados opuestos del diámetro $AC$ . Se sabe que $AB=3\sqrt{6}$ , $CD=3$ y el área del triángulo $ABC$ es tres veces el área del triángulo $BCD$ . Halle el radio de la circunferencia $\omega$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $7$ & (B) $9$ & (C) $3.5$ & (D) $5$ & (E) $4.5$ \end{tabular} Q11. El producto de dos números positivos $a$ y $b$ es $1$ . Se sabe que $(3a+2b)(3b+2a)=295$ . Halle $a+b$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $45$ & (B) $12$ & (C) $4$ & (D) $7$ & (E) $47$ \end{tabular} Q12. Sobre el lado $AC$ de un triángulo equilátero $ABC$ , se marca un punto $D$ . Sobre los segmentos $AD$ y $DC$ , se construyen triángulos equiláteros $ADE$ y $DCF$ exteriormente al triángulo $ABC$ . Se sabe que el perímetro del triángulo $DEF$ es $19$ y el perímetro del pentágono $ABCFE$ es $43$ . Halle las longitudes de los segmentos $AB$ y $EF$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $12, 5$ & (B) $15, 12$ & (C) $12, 7$ & (D) $7, 15$ & (E) $7, 12$ \end{tabular} Q13. En un grupo, algunos pares de personas son amigos (si $A$ es amigo de $B$ , entonces $B$ es amigo de $A$ ) . Resulta que entre cualesquiera $100$ personas del grupo, el número de pares de amigos es impar. Halle el máximo número total posible de personas en el grupo. \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $422$ & (B) $263$ & (C) $141$ & (D) $101$ & (E) $100$ \end{tabular} Q14. Factorice la expresión $2x^{4}-2x^{2}-24$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $(x-2)(x^{2}+3)(2x+4)$ & (B) $(x+2)(x+3)(2x-4)$ & (C) $(x-2)(x^{4}+3)(2x-4)$ & (D) $(x-3)(3x-2)(x^{3}+1)$ & (E) $(x+2)(x+3)(2x+4)$ \end{tabular} Q15. Sean $x$ e $y$ números reales no nulos tales que $\frac{3x+y}{x-3y}=-2$ . Halle el valor de la expresión $\frac{x+3y}{3x-y}$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $-1$ & (B) $-3$ & (C) $1$ & (D) $2$ & (E) $3$ \end{tabular}

. Cuatro cubos con longitudes de lado $1$ , $2$ , $3$ y $4$ se disponen como se muestra en la figura siguiente. Halle la longitud del segmento $XY$ , que pasa a través del cubo de lado $3$ . [asy] import graph3; size(6cm); currentprojection=perspective(8,-12,10); triple X=(0,0,10), Y=(4,4,0); draw(scale(4,4,4)*unitcube, white, black); draw(shift(0,0,4)*scale(3,3,3)*unitcube, white, black); draw(shift(0,0,7)*scale(2,2,2)*unitcube, white, black); draw(shift(0,0,9)*unitcube, white, black); dot("$X$", X, dir((1,1,9)--(0,0,10))); dot("$Y$", Y, dir((0,0,4)--(4,4,0))); label("$4$", (4,0,4)--(4,0,0), W); label("$3$", (3,0,7)--(3,0,4), W); label("$2$", (2,0,9)--(2,0,7), W); label("$1$", (1,0,10)--(1,0,9), W); [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $\frac{3\sqrt{33}}{5}$ & (B) $2\sqrt{3}$ & (C) $\frac{2\sqrt{33}}{3}$ & (D) $4$ & (E) $3\sqrt{2}$ \end{tabular} Q17. Calcule el valor de $\frac{2^{3}+2^{3}}{2^{-3}+2^{-3}}$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $16$ & (B) $24$ & (C) $32$ & (D) $48$ & (E) $64$ \end{tabular} Q18. Un niño va a un campo de tiro con su padre. El padre le compra $10$ balas. Después, por cada fallo el padre le quita una bala, y por cada acierto le da una bala adicional. El niño dispara $55$ tiros, tras los cuales se queda sin balas. ¿Cuántas veces dio en el blanco? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $42$ & (B) $55$ & (C) $50$ & (D) $60$ & (E) $65$ \end{tabular} Q19. ¿Cuántos números de cuatro cifras hay que son divisibles por $19$ y terminan en $19$ ? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $24$ & (B) $5$ & (C) $0$ & (D) $1$ & (E) $43$ \end{tabular} Q20. ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden reordenar para formar un palíndromo? (Un palíndromo es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.) \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $1000$ & (B) $100$ & (C) $500$ & (D) $900$ & (E) $750$ \end{tabular} Q21. El número $5^{867}$ está entre $2^{2013}$ y $2^{2014}$ . ¿Cuántos pares $(m,n)$ satisfacen las condiciones $1 \leqslant m\leqslant2012$ y $5^{n}<2^{m}<2^{m+2}<5^{n+1}$ ? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $278$ & (B) $279$ & (C) $280$ & (D) $281$ & (E) $282$ \end{tabular} Q22. La suma de dos números es cinco veces su diferencia. Halle la razón entre el número mayor y el número menor. \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $5:4$ & (B) $3:2$ & (C) $9:5$ & (D) $2:1$ & (E) $5:2$ \end{tabular} Q23. Halle la última cifra del número $2023^{2023}+2^{2023}+3^{2023}$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $7$ & (B) $0$ & (C) $1$ & (D) $2$ & (E) $5$ \end{tabular} Q24. El segmento $BD$ es la bisectriz del triángulo $ABC$ . Se sabe que $AD=3$ y $DC=8$ . Halle el menor perímetro posible del triángulo $ABC$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $30$ & (B) $33$ & (C) $35$ & (D) $36$ & (E) $37$ \end{tabular} Q25. Los números naturales del $1$ al $64$ se colocan en las casillas de un tablero de $8\times8$ (cada número exactamente una vez) de modo que los números que difieren en $1$ se colocan en casillas adyacentes por un lado. ¿Cuál es el menor valor posible de la suma de los números en la diagonal principal desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $8$ & (B) $121$ & (C) $50$ & (D) $88$ & (E) $64$ \end{tabular}

. Un triángulo rectángulo isósceles $ABC$ tiene un ángulo recto en $A$ . Un cuadrado $KLMN$ está posicionado como se muestra en la figura: los puntos $K$ , $L$ y $N$ están sobre los lados $AB$ , $BC$ y $AC$ , respectivamente, y el punto $M$ está dentro del triángulo $ABC$ . Halle la longitud del segmento $AC$ si $AK=7$ y $AN=3$ . [asy] import geometry; size(6cm); pair A=(0,0), B=(0,17), C=(17,0), K=(0,7), N=(3,0), M=(10,3), L=(7,10), I=incenter(A,B,C), O=intersectionpoint(K--M, N--L);; draw(A--B--C--cycle); draw(K--L--M--N--cycle); dot("$A$", A, dir(I--A)); dot("$B$", B, dir(I--B)); dot("$C$", C, dir(I--C)); dot("$K$", K, dir(O--K)); dot("$N$", N, dir(O--N)); dot("$M$", M, dir(O--M)); dot("$L$", L, dir(O--L)); markrightangle(C, A, B); [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $15$ & (B) $17$ & (C) $23$ & (D) $25$ & (E) $9$ \end{tabular} Q27. Se escribieron todos los divisores positivos de un número natural $N$ y luego se calculó la suma de las cifras de cada divisor. Resultó que entre estas sumas estaban todos los números del $1$ al $9$ . Halle el menor valor posible de $N$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $144$ & (B) $288$ & (C) $346$ & (D) $502$ & (E) $998$ \end{tabular} Q28. La altura $CH$ trazada desde el vértice del ángulo recto del triángulo $ABC$ biseca a la bisectriz $BL$ de este triángulo. Halle la medida del ángulo $BAC$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $90^{\circ}$ & (B) $60^{\circ}$ & (C) $45^{\circ}$ & (D) $30^{\circ}$ & (E) $70^{\circ}$ \end{tabular} Q29. Los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $BC$ y $AD$ del cuadrilátero $ABCD$ , respectivamente. Se sabe que $\angle B=150^{\circ}$ , $\angle C=90^{\circ}$ y $AB=CD$ . Halle el ángulo entre las rectas $MN$ y $BC$ . \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $40^{\circ}$ & (B) $30^{\circ}$ & (C) $55^{\circ}$ & (D) $45^{\circ}$ & (E) $60^{\circ}$ \end{tabular} Q30. Se sabe que $a^{2}+b=b^{2}+c=c^{2}+a$ . ¿Qué valores puede tomar la expresión $(a^{2}-b^{2})+b(b^{2}-c^2)+c(c^{2}-a^{2})$ ? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $0$ & (B) $1$ & (C) $2$ & (D) $5$ & (E) $10$ \end{tabular}

1 Se da el triángulo $ABC$ . Los puntos $X$ e $Y$ son tales que los puntos $X,B,C,Y$ están sobre la misma recta en ese orden, y $AC = BX$ y $AB = CY$ . Los puntos $P,Q,R$ son los puntos medios de los segmentos $AX,AY,BC$ , respectivamente. Demuestre que si $\angle PRQ = 2\angle BAC$ , entonces $\angle BAC = 60^\circ$ .

2 Halle todos los números naturales impares $n$ para los cuales existen cifras $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ con $x_{1}>0$ tales que \[\overline{x_{1}x_{2} \ldots x_{n}}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\ldots+x_{n}^{3}.\] (Aquí las cifras son los números $0, 1, 2, \ldots, 9$ . )

3 Resuelva la ecuación en números naturales \[b^{3}+2023=a(3a^{2}+5ab+b^{2}).\]

4 Entre los números $1, 2, \ldots, 2023$ , se eligen $1988$ números. Demuestre que existen números elegidos $a, b, c$ (no necesariamente distintos) tales que $a+b=c^{2}+2$ .