1 En una elección, hay $1395$ candidatos y algunos votantes. Cada votante ordena a todos los candidatos según el orden de prioridad. Formamos un grafo dirigido con $1395$ vértices; una flecha se dirige de $U$ a $V$ cuando el candidato $U$ está en un nivel de prioridad más alto que $V$ en más de la mitad de los votos. (de lo contrario, no hay arista entre $U,V$ ). ¿Es posible generar todos los grafos dirigidos completos con $1395$ vértices?

2 Se da una tabla de $100 \times 100$ . Al principio, en cada casilla unitaria está escrito el número $"0"$ . Dos jugadores juegan un juego y este termina después de $200$ pasos (cada jugador juega $100$ pasos). En cada paso, uno puede elegir una fila o una columna y sumar $1$ al número escrito en todas sus casillas $\pmod 3.$ El primer jugador gana si en más de la mitad de las casillas ( $5000$ casillas) está escrito el número $"1"$ , el segundo jugador gana si en más de la mitad de las casillas ( $5000$ casillas) está escrito el número $"0"$ . De lo contrario, el juego es un empate. Suponga que ambos jugadores juegan lo mejor posible. ¿Cuál será el resultado del juego? Propuesto por Mahyar Sefidgaran

3 Se da una tabla de $30\times30$ . Queremos colorear algunas de sus casillas unitarias de modo que cualquier casilla coloreada tenga a lo sumo $k$ vecinos. ( Dos casillas $(i,j)$ y $(x,y)$ se denominan vecinas si $i-x,j-y\equiv0,-1,1 \pmod {30}$ y $(i,j)\neq(x,y)$ . Por lo tanto, cada casilla tiene exactamente $8$ vecinos). ¿Cuál es el número máximo posible de casillas coloreadas si $:$ $a) k=6$ $b)k=1$

1 $x,y,z$ son tres números reales distintos de cero que satisfacen $x+y+z=xyz$ . Demuestre que $$ \sum (\frac{x^2-1}{x})^2 \geq 4$$ Propuesto por Amin Fathpour

2 Demuestre que no existen funciones $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que $\forall x,y\in \mathbb{R}:$ $ f(x^2+g(y)) -f(x^2)+g(y)-g(x) \leq 2y$ y $f(x)\geq x^2$ . Propuesto por Mohammad Ahmadi

2 $M_0 \subset \mathbb{N}$ es un conjunto no vacío con un número finito de elementos. Ali produce los conjuntos $ M_1,M_2,...,M_n $ en el siguiente orden: en el paso $n$ , Ali elige un elemento de $M_{n-1} $ como $b_n$ y define $M_n$ como $$M_n = \left \{ b_nm+1 \vert m\in M_{n-1} \right \}$$ Demuestre que en algún paso Ali alcanza un conjunto tal que ningún elemento de él divide a otro elemento de él.

3 Sea $p>5$ un número primo y sea $A=\{b_1,b_2,\dots,b_{\frac{p-1}{2}}\}$ el conjunto de todos los residuos cuadráticos módulo $p$ , excluyendo el cero. Demuestre que no existen naturales $a,c$ que satisfagan $(ac,p)=1$ tales que el conjunto $B=\{ab_1+c,ab_2+c,\dots,ab_{\frac{p-1}{2}}+c\}$ y el conjunto $A$ sean disjuntos módulo $p$ . Este problema fue propuesto por Amir Hossein Pooya.

4 $a,b,c,d,k,l$ son enteros positivos tales que para todo número natural $n$ los conjuntos de factores primos de $n^k+a^n+c,n^l+b^n+d$ son iguales. Demuestre que $k=l,a=b,c=d$ .

5 $p>30$ es un número primo. Demuestre que uno de los siguientes números es de la forma $x^2+y^2$ . $$ p+1 , 2p+1 , 3p+1 , .... , (p-3)p+1$$

1 Sea $ABCD$ el trapecio tal que $AB\parallel CD$ . Sea $E$ un punto arbitrario sobre $AC$ . El punto $F$ está sobre $BD$ tal que $BE\parallel CF$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de $\triangle ABF,\triangle BED$ y la recta $AC$ son concurrentes.