1 Leticia tiene un tablero de $9\times 9$ . Ella dice que dos casillas son amigas si comparten un lado, si están en extremos opuestos de la misma fila o si están en extremos opuestos de la misma columna. Cada casilla tiene $4$ amigas en el tablero. Leticia pintará cada casilla de uno de tres colores: verde, azul o rojo. En cada casilla se escribirá un número según las siguientes reglas: - Si la casilla es verde, escriba el número de amigas rojas más el doble del número de amigas azules. - Si la casilla es roja, escriba el número de amigas azules más el doble del número de amigas verdes. - Si la casilla es azul, escriba el número de amigas verdes más el doble del número de amigas rojas. Considerando que Leticia puede elegir el coloreado de las casillas del tablero, halle el máximo valor posible que puede obtener al sumar los números de todas las casillas.

2 Halle todas las ternas ordenadas $(p,q,r)$ de enteros positivos tales que $p$ y $q$ son dos primos (no necesariamente distintos), $r$ es par, y \[p^3+q^2=4r^2+45r+103.\]

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB< AC$ . Denote por $P$ y $Q$ los puntos del segmento $BC$ tales que $\angle BAP = \angle CAQ < \frac{\angle BAC}{2}$ . $B_1$ es un punto del segmento $AC$ . $BB_1$ interseca a $AP$ y $AQ$ en $P_1$ y $Q_1$ , respectivamente. Las bisectrices de los ángulos $\angle BAC$ y $\angle CBB_1$ se intersecan en $M$ . Si $PQ_1\perp AC$ y $QP_1\perp AB$ , demuestre que $AQ_1MPB$ es cíclico.

4 Sea $ABC$ un triángulo, con $AB\neq AC$ . Sean $O_1$ y $O_2$ los centros de las circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ con diámetros $AB$ y $BC$ , respectivamente. Se elige un punto $P$ sobre el segmento $BC$ tal que $AP$ interseca a $\omega_1$ en el punto $Q$ , con $Q\neq A$ . Demuestre que $O_1$ , $O_2$ y $Q$ son colineales si y solo si $AP$ es la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ .

5 Halle todos los enteros positivos $k$ para los cuales existen enteros positivos $a$ , $b$ y $c$ tales que \[\lvert (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3\rvert=3\cdot2^k.\]

6 Ana y Bety juegan un juego alternando turnos. Inicialmente, Ana elige un entero positivo impar y compuesto $n$ tal que $2^j<n<2^{j+1}$ con $2<j$ . En su primer turno, Bety elige un entero compuesto impar $n_1$ tal que \[n_1\leq \frac{1^n+2^n+\dots+(n-1)^n}{2(n-1)^{n-1}}.\] Luego, en su otro turno, Ana elige un número primo $p_1$ que divide a $n_1$ . Si el primo que elige Ana es $3$ , $5$ o $7$ , entonces Ana gana; en caso contrario, Bety elige un entero positivo compuesto impar $n_2$ tal que \[n_2\leq \frac{1^{p_1}+2^{p_1}+\dots+(p_1-1)^{p_1}}{2(p_1-1)^{p_1-1}}.\] Después de eso, en su turno, Ana elige un primo $p_2$ que divide a $n_2,$ ; si $p_2$ es $3$ , $5$ o $7$ , Ana gana; en caso contrario, el proceso se repite. Además, Ana gana si en cualquier momento Bety no puede elegir un entero positivo compuesto impar en el rango correspondiente. Bety gana si logra jugar al menos $j-1$ turnos. Determine cuál de las dos jugadoras tiene una estrategia ganadora.

1 Sea $p$ un número primo, y sea $X$ el conjunto de los cubos módulo $p$ , incluido $0$ . Denote por $C_2(k)$ el número de pares ordenados $(x, y) \in X \times X$ tales que $x + y \equiv k \pmod p$ . Análogamente, denote por $C_3(k)$ el número de ternas ordenadas $(x, y, z) \in X \times X \times X$ tales que $x + y + z \equiv k \pmod p$ . Demuestre que existen enteros $a, b$ tales que para todo $k$ que no esté en $X$ , se tiene \[ C_3(k) = a\cdot C_2(k) + b. \] Propuesto por Murilo Corato, Brasil.

5 Halle la menor constante real $p$ para la cual la desigualdad $\sqrt{ab}- \frac{2ab}{a + b} \le p \left( \frac{a + b}{2} -\sqrt{ab}\right)$ se cumple para cualesquiera números reales positivos $a, b$ .

3 Cuando la IMO termina y los estudiantes quieren relajarse, todos hacen lo mismo: descargar películas de internet. Hay un número positivo de habitaciones con enrutadores de internet en el hotel, y cada estudiante quiere descargar un número positivo de bits. La carga de una habitación se define como el número total de bits a descargar desde esa habitación. A nadie le gusta el internet lento y, en particular, cada estudiante tiene un disgusto igual al producto de su número de bits y la carga de su habitación. La miseria del grupo se define como la suma de los disgustos de los estudiantes. Justo después de la competencia, los estudiantes se reúnen en el lobby del hotel para decidir quién va a qué habitación. Después de mucha discusión, alcanzan una configuración balanceada: una para la cual ningún estudiante puede disminuir su disgusto moviéndose unilateralmente a otra habitación. La miseria del grupo se calcula como $M_1$ , y justo cuando parecían satisfechos, Gugu llegó con una sonrisa fortuita y propuso otra configuración que alcanzó la miseria $M_2$ . ¿Cuál es el máximo valor de $M_1/M_2$ sobre todas las entradas de este problema? Propuesto por Victor Reis (proglote), Brasil.

4 Halle todas las funciones $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{R}$ tales que \[ f(x)^2-f(y)^2=f(x+y)\cdot f(x-y), \] para todos $x,y\in \mathbb{Q}$ . Propuesto por Portugal.