2014.1.4 Sea $P$ la intersección de las diagonales de un cuadrilátero convexo $ABCD$. Sean los puntos $L$, $M$ y $N$ ubicados sucesivamente sobre los segmentos $AB$, $BC$ y $CD$ tales que $$ \frac{|AL|}{|LB|}=\frac{|BM|}{|MC|}=\frac{|CN|}{|ND|}. $$ Por ejemplo, supón que la recta $LM$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $MCN$, y que la recta $NM$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $MBL$. Demuestra que $\angle DPA = \angle NML.$

4 Hay una fila de $n{}$ niñas a un lado de una mesa de tenis y una fila de $n{}$ niños al otro lado. Tanto las niñas como los niños están numerados del $1{}$ al $n{}$ en el orden en que se encuentran. El primer juego lo disputan la niña y el niño con el número $1{}$ y luego, después de cada juego, el perdedor va al final de su fila y el ganador permanece en la mesa. Después de un tiempo, resultó que cada niña jugó exactamente un juego con cada niño. Demuestre que si $n{}$ es impar, entonces una niña y un niño con números impares jugaron en el último juego. Propuesto por A. Gribalko

5 Halle el mayor número natural $n$ para el cual el producto de los números $n, n+1, n+2, \ldots, n+20$ es divisible por el cuadrado de uno de ellos.

6 Una cuadrícula cuadrada de $100 \times 100$ se embaldosa de dos maneras: solo con dominós y solo con cuadrados de $2 \times 2$ . ¿Cuál es el menor número de dominós que están enteramente dentro de algún cuadrado de $2 \times 2$ ?

7 Igual que 9.7

8 Se dan un número real $a \in (0,1)$ y reales positivos $x_0, x_1, \ldots, x_n$ tales que $\sum x_i=n+a$ y $\sum \frac{1}{x_i}=n+\frac{1}{a}$ . Halle el valor mínimo de $\sum x_i^2$ .

1 Si $x\in\mathbb{R}$ satisface $sin$ $x+tan$ $x\in\mathbb{Q}$ , $cos$ $x+cot$ $x\in\mathbb{Q}$ , demuestre que $sin$ $2x$ es raíz de una función cuadrática con coeficientes enteros.

2 Igual que 10.2

3 En cada fila de una cuadrícula de $100 \times n$ está escrita una permutación de los números $1,2 \ldots, 100$ . En un movimiento se puede elegir una fila e intercambiar dos números no adyacentes cuya diferencia sea $1$ . Halle el mayor $n$ posible tal que, en cualquier momento, sin importar las operaciones realizadas, no haya dos filas con la misma permutación.

4 Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ con $AB<AC$ . Sea $I$ su incentro y sea $M$ el punto medio de $BC$ . El pie de la perpendicular desde $M$ a $AI$ es $H$ . Las rectas $MH, BI, AB$ forman un triángulo $T_b$ y las rectas $MH, CI, AC$ forman un triángulo $T_c$ . La circunferencia circunscrita de $T_b$ corta a $\omega$ en $B'$ y la circunferencia circunscrita de $T_c$ corta a $\omega$ en $C'$ . Demuestre que $B', H, C'$ son colineales.