5 Como se muestra en la figura, los puntos $D,E,F$ se encuentran sobre los lados $AB$ , $BC$ , $CA$ del triángulo acutángulo $\vartriangle ABC$ respectivamente. Si $\angle EDC = \angle CDF$ , $\angle FEA=\angle AED$ , $\angle DFB =\angle BFE$ , demuestre que $CD$ , $AE$ , $BF$ son las alturas de $\vartriangle ABC$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/3/d/5ddf48e298ad1b75691c13935102b26abe73c1.png

1 Se eligen los puntos $D$ y $E$ sobre los lados $AB$ y $AC$ del triángulo $ABC$ de tal manera que si $F$ es el punto de intersección de $BE$ y $CD$ , entonces $AE + EF = AD + DF$ . Demuestre que $AC + CF = AB + BF.$ Amir

2 Sea $m$ un entero positivo y $x_0, y_0$ enteros tales que $x_0, y_0$ son primos relativos, $y_0$ divide a $x_0^2+m$ y $x_0$ divide a $y_0^2+m$ . Demuestre que existen enteros positivos $x$ y $y$ tales que $x$ y $y$ son primos relativos, $y$ divide a $x^2 + m$ , $x$ divide a $y^2 + m$ y $x + y \leq m+ 1.$ Amir

6 La figura que se obtiene al quitar un pequeño cuadrado unitario del tablero cuadriculado $2\times 2$ se denomina forma $L$ ''shape". Coloque $k$ formas $L$ en un tablero cuadriculado $8\times 8$ . Cada forma $L$ puede rotarse, pero se requiere que cada forma $L$ cubra exactamente tres pequeños cuadrados unitarios del tablero, que el área común cubierta por cualesquiera dos formas $L$ sea $0$ y que, aparte de estas $k$ formas $L$ , no pueda colocarse ninguna otra forma $L$ . Halle el valor mínimo de $k$ .

7 Se sabe que los números primos impares $x, y z$ satisfacen $$x|(y^5+1),y|(z^5+1),z|(x^5+1).$$ Halle el valor mínimo del producto $xyz$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo, $O$ su circuncentro, $S$ su baricentro y $H$ su ortocentro. Denote por $A_1, B_1$ y $C_1$ los centros de las circunferencias circunscritas a los triángulos $CHB, CHA$ y $AHB$ , respectivamente. Demuestre que el triángulo $ABC$ es congruente al triángulo $A_1B_1C_1$ y que la circunferencia de los nueve puntos de $\triangle ABC$ es también la circunferencia de los nueve puntos de $\triangle A_1B_1C_1$ . Amir

4 Sean $p, q$ y $r$ los ángulos de un triángulo, y sean $a = \sin2p, b = \sin2q$ y $c = \sin2r$ . Si $s = \frac{(a + b + c)}2$ , demuestre que \[s(s - a)(s - b)(s -c) \geq 0.\] ¿Cuándo se cumple la igualdad? Amir

5 Sean $I,H,O$ el incentro, el baricentro y el circuncentro del triángulo no isósceles $ABC$ . Demuestre que $AI \parallel HO$ si y solo si $\angle BAC =120^{\circ}$ . Amir

6 Suponga que $n$ números $x_1, x_2, . . . , x_n$ se eligen al azar del conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ . Demuestre que la probabilidad de que $x_1^2+ x_2^2 +\cdots+ x_n^2 \equiv 0 \pmod 5$ es al menos $\frac 15.$ Amir

7 Sea $X$ un conjunto acotado y no vacío de puntos del plano cartesiano. Sea $f(X)$ el conjunto de todos los puntos que están a distancia a lo sumo $1$ de algún punto de $X$ . Sea $f_n(X) = f(f(\cdots(f(X))\cdots))$ ( $n$ veces). Demuestre que $f_n(X)$ se vuelve “más circular” a medida que $n$ crece. En otras palabras, si $r_n = \sup\{\text{radii of circles contained in } f_n(X) \}$ y $R_n = \inf \{\text{radii of circles containing } f_n(X)\}$ , entonces demuestre que $R_n/r_n$ se acerca arbitrariamente a $1$ a medida que $n$ se hace arbitrariamente grande. Click to reveal hidden text No estoy seguro de estar publicando esto en el foro correcto. Si está en un foro equivocado, por favor que los moderadores lo muevan. Amir