Macedonia National Olympiad 2000 Problema 1
1 Sea $AB$ un diámetro de un círculo con centro $O$ , y sea $CD$ una cuerda perpendicular a $AB$ . Una cuerda $AE$ interseca a $CO$ en $M$ , mientras que $DE$ y $BC$ se intersecan en $N$ . Demuestre que $CM:CO=CN:CB$ .
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Macedonia National Olympiad 2000 Problema 2
2 Si $a_1,a_2,a_3\ldots a_n$ son números positivos, halle el valor máximo de \[\frac{a_1a_2\ldots a_{n-1}a_n}{(1+a_1)(a_1+a_2)\ldots (a_{n-1}+a_n)(a_n+2^{n+1})} \]
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Macedonia National Olympiad 2000 Problema 3
3 En un triángulo con lados $a,b,c,t_a,t_b,t_c$ , sean estas las medianas correspondientes y $D$ el diámetro de la circunferencia circunscrita. Demuestre que \[\frac{a^2+b^2}{t_c}+\frac{b^2+c^2}{t_a}+\frac{c^2+a^2}{t_b}\le 6D\]
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Macedonia National Olympiad 2000 Problema 4
4 Sean $a,b$ enteros positivos coprimos. Muestre que el número de enteros positivos $n$ para los cuales la ecuación $ax+by=n$ no tiene soluciones en enteros positivos es igual a $\frac{(a-1)(b-1)}{2}-1$ .
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Olimpiada Junior de Flandes 2005 Problema 2
2 Partiendo de dos puntos \(A\) y \(B\), se construyen algunos círculos y puntos como se muestra en la figura: el círculo con centro \(A\) que pasa por \(B\), el círculo con centro \(B\) que pasa por \(A\), el círculo con centro \(C\) que pasa por \(A\), el círculo con centro \(D\) que pasa por \(B\), el círculo con centro \(E\) que pasa por \(A\), el círculo con centro \(F\) que pasa por \(A\), el círculo con centro \(G\) que pasa por \(A\) (creo que el enunciado no es muy riguroso; debes suponer las intersecciones según el dibujo). Demuestra que \(M\) es el punto medio de \(AB\).
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Olimpiada Junior de Flandes 2005 Problema 3
3 Demuestra que $2005^2$ se puede escribir de al menos $4$ maneras como la suma de 2 cuadrados perfectos (no nulos).
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Prueba de Selección de Equipos de la JBMO 2016 Problema 1
1 Halle todos los pares $(x, y)$ de números reales que satisfacen las ecuaciones \begin{align*} x^2+y&=xy^2 \\ 2x^2y+y^2&=x+y+3xy. \end{align*}
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Olimpiada Junior de Flandes 2005 Problema 4
4 (a) Sea M un punto interior del cuadrilátero convexo ABCD. Demuestra que $|MA|+|MB| < |AD|+|DC|+|CB|$ . (b) Sea M un punto interior del triángulo ABC. Nota $k=\min(|MA|,|MB|,|MC|)$ . Demuestra que $k+|MA|+|MB|+|MC|<|AB|+|BC|+|CA|$ .
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Olimpiada Junior de Flandes 2004 Problema 1
1 Dos rectángulos de $5\times1$ tienen 2 vértices en común como en la figura. (a) Determina el área de la superposición (b) Determina la longitud del segmento entre los otros 2 puntos de intersección, $A$ y $B$ .
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Olimpiada Junior de Flandes 2004 Problema 2
¿Cómo puedes pasar del número 11 al 25 multiplicando solo por 2 o restando 3 en un número mínimo de pasos?
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