3 Sea $n \ge 3$ un entero. Una danza circular es una danza que se ejecuta de acuerdo con la siguiente regla: En el piso, se marcan $n$ puntos a distancias iguales a lo largo de una circunferencia grande. En cada uno de estos puntos hay una hoja de papel con una flecha que apunta en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario. Uno de los puntos está etiquetado como "Inicio". El bailarín comienza en este punto. En cada paso, primero cambia la dirección de la flecha en su posición actual y luego se mueve al siguiente punto en la nueva dirección de la flecha. a) Demuestre que cada danza circular visita cada punto infinitas veces. b) ¿Cuántas danzas circulares diferentes hay? Se considera que dos danzas circulares son iguales si difieren solo en un número finito de pasos al comienzo y luego siempre visitan los mismos puntos en el mismo orden. (La sucesión común de pasos puede comenzar en momentos diferentes en las dos danzas.) (Birgit Vera Schmidt)

1 Determine la menor constante real $C$ tal que la desigualdad \[(X+Y)^2(X^2+Y^2+C)+(1-XY)^2 \ge 0\] se cumple para todos los números reales $X$ e $Y$ . ¿Para qué valores de $X$ e $Y$ se tiene la igualdad para esta menor constante $C$ ? (Walther Janous)

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB>AC$ . Sean $D,E,F$ los pies de sus alturas sobre $BC,AC$ y $AB$ , respectivamente. Sea $S$ la intersección de las rectas $EF$ y $BC$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas $k_1$ y $k_2$ de los dos triángulos $AEF$ y $DES$ son tangentes en $E$ . (Karl Czakler)

Sea $\Delta ABC$ un triángulo acutángulo y sea $\omega$ su circunferencia circunscrita. La perpendicular desde $A$ a $BC$ interseca a $BC$ en $D$ y a $\omega$ en $K$ . La circunferencia que pasa por $A$ , $D$ y es tangente a $BC$ en $D$ interseca a $\omega$ en $E$ . $AE$ interseca a $BC$ en $T$ . $TK$ interseca a $\omega$ en $S$ . Suponga que $SD$ interseca a $\omega$ en $X$ . Demuestre que $X$ es la reflexión de $A$ con respecto a la mediatriz de $BC$ .

Igual que en Secundaria

A1 Halle todas las funciones $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ tales que $(f(x + y))^2 = f(x^2) + f(y^2)$ para todos $x, y \in \mathbb{Z}$ .

1. En el triángulo rectángulo $ABC$ con $\angle{A}= \textdegree{90}$ , se elige un punto $P$ . $D \in BC$ tal que $PD \perp BC$ . Sean $E$ y $F$ las intersecciones de $PD$ con $AB$ y $AC$ , respectivamente. Denote por $X$ e $Y$ las intersecciones de $(APE)$ y $(APF)$ con $BP$ y $CP$ , respectivamente. Demuestre que $CX,BY,PD$ son concurrentes.

2 En un triángulo, los lados se prolongan más allá de ambos vértices en una longitud igual a la del lado opuesto al vértice respectivo. Demuestre que el área del hexágono resultante es al menos $13$ veces el área del triángulo original.

1 Encuentra la suma de todas las bases enteras $b>9$ para las cuales $17_b$ es un divisor de $97_b.$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $\angle B > \angle C$ . Sobre la circunferencia $\mathcal{C}(O, R)$ circunscrita a este triángulo se eligen los puntos $D, E, J, K, S$ tales que $A, E, J$ y $K$ están en el mismo lado de la recta $BC$ , el diámetro $DE$ es perpendicular a la cuerda $BC$ , $S\in \overarc{EK},\overarc{AE}=\overarc{BJ}=\overarc{CK}=\dfrac{1}{4}\overarc{CE}$ . Sean $\{F\}=AC\cap DE, \{M\}=BK\cap AD, \{P\}=BK\cap AC$ y $\{Q\}=CJ\cap BF$ . Si $\angle SMK =30^{\circ}$ y $\angle AQP = 90^{\circ}$ , demuestre que la recta $MS$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $AOF$ .