4 María tiene un tablero de $6 \times 5$ con algunas casillas sombreadas, como en la figura. Ella escribe, en algún orden, los dígitos $1, 2, 3, 4$ y $5$ en la primera fila y luego completa el tablero de la siguiente manera: mira el número escrito en la casilla sombreada y escribe el número que ocupa la posición indicada por la casilla sombreada como el último número de la siguiente fila, y repite los demás números en las primeras cuatro casillas, siguiendo el mismo orden que en la fila anterior. Por ejemplo, si escribiste $2, 3, 4, 1, 5$ en la primera fila, entonces como $4$ está en la casilla sombreada, el número que ocupa el cuarto lugar $(1)$ se escribe en la última casilla de la segunda fila y la completas con los números restantes en el orden en que estaban. Queda: $2, 3, 4, 5, 1$. Luego, para completar la tercera fila, como en la casilla sombreada está $3$, el número ubicado en el tercer lugar $(4)$ lo escribe en la última casilla y obtiene $2, 3, 5, 1, 4$. Siguiendo de la misma manera, obtiene el tablero de la figura. Muestra una forma de ubicar los números en la primera fila para obtener los números $2, 4, 5, 1, 3$ en la última fila.

A3 Sean $a,b,c$ las longitudes de los lados de un triángulo y $m_a,m_b,m_c$ las medianas correspondientes a los lados respectivos. Demuestra que $$m_a\left(\frac{b}{a}-1\right)\left(\frac{c}{a}-1\right)+ m_b\left(\frac{a}{b}-1\right)\left(\frac{c}{b}-1\right) +m_c\left(\frac{a}{c}-1\right)\left(\frac{b}{c}-1\right)\geq 0.$$ (FYROM)

1 Decimos que un entero positivo es super impar si todos sus dígitos son impares. Por ejemplo, 1737 es super impar y 3051 no lo es. Encuentra un entero positivo par que no pueda expresarse como suma de dos números super impares y explica por qué no es posible expresarlo de esa manera.

5 Encuentra el mayor entero $n$ tal que $n$ es divisible por todos los enteros positivos menores que $\sqrt[3]{n}$ .

4 Sea $ABC$ un triángulo y $D$ el pie de la altura desde $A$. Sean $E$ y $F$ puntos sobre una recta que pasa por $D$ tales que $AE$ es perpendicular a $BE$, $AF$ es perpendicular a $CF$, y $E$ y $F$ son distintos de $D$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $EF$, respectivamente. Demuestra que $AN$ es perpendicular a $NM$.

3. Determina todos los enteros positivos con más de un dígito, todos distintos, tales que la suma de sus dígitos sea igual al producto de sus dígitos.

3 Sean $a$, $b$, $c$ números reales positivos. Demuestra que \[ \biggl(1+\frac{a}{b}\biggr) \biggl(1+\frac{b}{c}\biggr) \biggl(1+\frac{c}{a}\biggr) \ge 2 \biggl(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\biggr). \]

2 Demuestra que para cualesquiera enteros positivos $a$ y $b$, $(36a+b)(a+36b)$ no puede ser una potencia de $2$.

4 Encuentra cuántos múltiplos de 360 tienen la forma $\overline{ab2017cd}$ , donde a, b, c, d son dígitos, con a > 0.

5 Las celdas unitarias de un tablero de 5 x 5 se pintan con 5 colores de manera que cada celda se pinta con exactamente un color y cada color se usa en 5 celdas. Demuestra que existe al menos una fila o una columna del tablero en la que se usaron al menos 3 colores.