2 Sea $ABC$ un triángulo y $K$ y $L$ dos puntos sobre $(AB)$, $(AC)$ tales que $BK = CL$ y sea $P = CK \cap BL$. Sea la paralela por $P$ a la bisectriz interior del ángulo $\angle BAC$ que corta a $AC$ en $M$. Demuestra que $CM = AB$. Valentin

5 Si los reales $x, y, z $ satisfacen $tan x + tan y + tan z = 2$ y $0 < x, y,z < \frac{\pi}{2}.$ Demuestre que $$sin^2 x + sin^2 y + sin^2 z < 1.$$

2 Halle todas las soluciones reales de $\sqrt{x-1}+\sqrt{x^2-1}=\sqrt{x^3}$

6 Para cada entero positivo fijo $n$, con $n\geq 4$, y $P$ un entero, sea $(P)_n \in [1, n]$ el residuo positivo más pequeño de $P$ módulo $n$. Dos sucesiones $a_1, a_2, \dots, a_k$ y $b_1, b_2, \dots, b_k$ con términos en $[1, n]$ se definen como equivalentes si existe un entero positivo $t$, con $\gcd(t,n)=1$, tal que la sucesión $(ta_1)_n, \dots, (ta_k)_n$ es una permutación de $b_1, b_2, \dots, b_k$. Sea $\alpha$ una sucesión de tamaño $n$ cuyos términos están en $[1, n]$, tal que cada término aparece $h$ veces en la sucesión $\alpha$ y $2h\geq n$. Demuestra que $\alpha$ es equivalente a alguna sucesión $\beta$ que contiene una subsucesión cuyo tamaño es a lo sumo $h$ y cuya suma es exactamente igual a $n$.

La recta $\ell$ interseca los lados $BC$ y $AD$ del cuadrilátero cíclico $ABCD$ en sus puntos interiores $R$ y $S$, respectivamente, y corta al rayo $DC$ más allá del punto $C$ en $Q$, y al rayo $BA$ más allá del punto $A$ en $P$. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $QCR$ y $QDS$ se intersecan en $N \neq Q$, mientras que las circunferencias circunscritas de los triángulos $PAS$ y $PBR$ se intersecan en $M \neq P$. Sean las rectas $MP$ y $NQ$ que se encuentran en el punto $X$, las rectas $AB$ y $CD$ que se encuentran en el punto $K$, y las rectas $BC$ y $AD$ que se encuentran en el punto $L$. Demuestra que el punto $X$ está sobre la recta $KL$.

4 Demuestra que para todo entero positivo $t$ existe una única permutación $a_0, a_1, \ldots , a_{t-1}$ de $0, 1, \ldots , t-1$ tal que, para cada $0 \leq i \leq t-1$, el coeficiente binomial $\binom{t+i}{2a_i}$ es impar y $2a_i \neq t+i$.

3 Sea $n$ un entero positivo y sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ reales positivos. Demuestra que $$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2^i}\left(\frac{2}{1+a_i}\right)^{2^i} \geq \frac{2}{1+a_1a_2\ldots a_n}-\frac{1}{2^n}.$$

Considera una tabla de $100 \times 100$, e identifica la celda en la fila $a$ y columna $b$, $1 \leq a, b \leq 100$, con el par ordenado $(a, b)$. Sea $k$ un entero tal que $51 \leq k \leq 99$. Un $k$-caballo es una pieza que se mueve una celda en vertical u horizontal y $k$ celdas en la otra dirección; es decir, se mueve de $(a, b)$ a $(c, d)$ tal que $(|a-c|, |b-d|)$ es $(1, k)$ o $(k, 1)$. El $k$-caballo comienza en la celda $(1, 1)$ y realiza varios movimientos. Una secuencia de movimientos es una secuencia de celdas $(x_0, y_0) = (1, 1)$, $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $\ldots, (x_n, y_n)$ tal que, para todo $i = 1, 2, \ldots, n$, se cumple $1 \leq x_i, y_i \leq 100$ y el $k$-caballo puede moverse de $(x_{i-1}, y_{i-1})$ a $(x_i, y_i)$. En este caso, se dice que cada celda $(x_i, y_i)$ es alcanzable. Para cada $k$, encuentra $L(k)$, el número de celdas alcanzables.

2015 g4 Demuestre que si es posible inscribir un cuadrilátero $A'B'C'D'$ de perímetro mínimo en un cuadrilátero $ABCD$ (colocando un único vértice de $A'B'C'D'$ sobre cada lado de $ABCD$ ), entonces el cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en una circunferencia.

8.8 Sobre la diagonal $BC$ del paralelogramo $ABCD$ se elige un punto $E$ tal que $AE=BD$ , y se elige un punto $F$ sobre $CE$ tal que $\angle BFD=90^{\circ}$ . Halle todos los valores posibles de $\frac{CE}{CF}$ .