1 El triángulo no isósceles $ABC$ está inscrito en la circunferencia ω. La tangente a esta circunferencia en el punto $C$ interseca a la recta $AB$ en el punto $D$ . Sea la bisectriz del ángulo $CDB$ que interseca a los segmentos $AC$ y $BC$ en los puntos $K$ y $L$ , respectivamente. Sobre el lado $AB$ , se toma el punto $M$ tal que $AK / BL = AM / BM$ . Sean las perpendiculares trazadas desde el punto $M$ a las rectas $KL$ y $DC$ que intersecan a las rectas $AC$ y $DC$ en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente. Demuestre que el ángulo $CQP$ es la mitad del ángulo $ACB$ . matol.kz

6 Demuestre que existen infinitos enteros positivos compuestos $n$ tales que $n$ divide a $2^{\frac{n-1}{2}}+1$ matol.kz

5 Considérense todos los posibles conjuntos de números naturales $(x_1, x_2, ..., x_{100})$ tales que $1\leq x_i \leq 2017$ para cada $i = 1,2, ..., 100$ . Decimos que el conjunto $(y_1, y_2, ..., y_{100})$ es mayor que el conjunto $(z_1, z_2, ..., z_{100})$ si $y_i> z_i$ para cada $i = 1,2, ..., 100$ . ¿Cuál es el mayor número de conjuntos que se pueden escribir en el pizarrón, de modo que ningún conjunto sea mayor que otro?

2 Resuelva en enteros positivos la ecuación $$n!+10^{2014}=m^4$$

3 Una sucesión infinita estrictamente creciente $\{a_n\}$ de enteros positivos satisface la condición $a_{a_n}\le a_n + a_{n + 3}$ para todo $n\ge 1$ . Demuestre que existen infinitas ternas $(k, l, m)$ de enteros positivos tales que $k <l <m$ y $a_k + a_m = 2a_l$ . matol.kz

5 ¿Existen un entero $m\ge 2$ y un polinomio $P(x)\in Z[x]$ tales que $P(n)-F_n$ sea divisible por $m$ para todo $n\in N$ ? Donde $(F_n)$ es una sucesión de Fibonacci, es decir, $F_1=F_2=1$ y $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ .

6 Se seleccionan en el plano $101$ puntos azules y $101$ puntos rojos, y no hay tres que estén sobre una misma recta. La suma de las distancias por pares entre los puntos rojos es $1$ (es decir, la suma de las longitudes de los segmentos con extremos en puntos rojos), la suma de las distancias por pares entre los azules también es $1$ , y la suma de las longitudes de los segmentos con extremos de colores distintos es $400$ . Demuestre que se puede trazar una recta que separe todos los puntos rojos de todos los azules.

1 Sea $N$ un número natural. Demuestre que todos los divisores positivos de $N$ se pueden ordenar en una sucesión $d_{1}, \ldots, d_{k}$ tal que para cada $1 \leqslant i<k$ , al menos uno de los números $\frac{d_{i}}{d_{i+1}}$ o $\frac{d_{i+1}}{d_{i}}$ es primo.

2 Halle todos los números racionales $a$ para los cuales existen infinitos números racionales positivos $q$ tales que la ecuación $[x^a].{x^a}=q$ no tiene solución en números racionales.(A.Vasiliev)

4 La circunferencia inscrita de un triángulo $ABC$ toca los lados $BC$ y $AC$ en los puntos $A_1$ y $B_1$ , y la circunferencia exinscrita correspondiente al lado $AB$ toca las prolongaciones de estos lados en los puntos $A_2$ y $B_2$ , respectivamente. Supóngase que la circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ toca el lado $AB$ en el punto $K$ . Denótese por $O_a$ y $O_b$ los centros de las circunferencias circunscritas de los triángulos $A_1A_2K$ y $B_1B_2K$ , respectivamente . Demuestre que la recta $O_a O_b$ pasa por el punto medio del segmento $AB$ .