2018.2.3 Dados los círculos $K_1$ y $K_2$, que no son ortogonales y se intersectan en los puntos $A$ y $B$. Sea $C$ un punto en $K_1$ distinto de $A$ tal que la recta $CA$ es tangente a $K_2$, y sea $D$ un punto en $K_2$ distinto de $A$ tal que la recta $DA$ es tangente a $K_1$. Sea la recta $CD$ que intersecta a $K_1$ en el punto $E$ y a $K_2$ en el punto $F$. Sea la recta paralela a $AC$ que pasa por $F$ e intersecta a $K_2$ en $G$, y la recta paralela a $AD$ que pasa por $E$ e intersecta a $K_1$ en $H$. Sean las rectas $FG$ y $EH$ que se intersectan en $X$. Demuestra que la recta $BX$ biseca al segmento $GH$. Nota: Los círculos son ortogonales si sus tangentes son perpendiculares en un punto común.

1 Sea $ABCD$ un paralelogramo. La recta $\Delta$ interseca las rectas $AB, BC, CD$ y $DA$ en $M, N, P$ y $Q,$ respectivamente. Sea $R$ el punto de intersección de las rectas $AB,DN$ y sea $S$ el punto de intersección de las rectas $AD, BP.$ Demuestre que $RS \parallel \Delta.$ [asy] import graph; size(400); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; pen xdxdff = rgb(0.49,0.49,1); pen qqzzcc = rgb(0,0.6,0.8); pen wwwwff = rgb(0.4,0.4,1); draw((2,2)--(6,2),qqzzcc+linewidth(1.6pt)); draw((6,2)--(4,0),qqzzcc+linewidth(1.6pt)); draw((-1.95,(+12-2*-1.95)/2)--(12.24,(+12-2*12.24)/2),qqzzcc+linewidth(1.6pt)); draw((-1.95,(-0+3*-1.95)/3)--(12.24,(-0+3*12.24)/3),qqzzcc+linewidth(1.6pt)); draw((-1.95,(-0-0*-1.95)/6)--(12.24,(-0-0*12.24)/6),qqzzcc+linewidth(1.6pt)); draw((4,0)--(4,4),wwwwff+linewidth(1.2pt)+linetype("3pt 3pt")); draw((2,2)--(8.14,0),wwwwff+linewidth(1.2pt)+linetype("3pt 3pt")); draw((-1.95,(+32.56-4*-1.95)/4.14)--(12.24,(+32.56-4*12.24)/4.14),qqzzcc+linewidth(1.6pt)); dot((0,0),ds); label("$A$", (0,-0.3),NE*lsf); dot((4,0),ds); label("$B$", (4.02,-0.33),NE*lsf); dot((2,2),ds); label("$D$", (1.81,2.07),NE*lsf); dot((6,2),ds); label("$C$", (6.16,2.08),NE*lsf); dot((3,3),ds); label("$Q$", (2.97,3.22),NE*lsf); dot((5,1),ds); label("$N$", (4.99,1.19),NE*lsf); label("$\Delta$", (1.7,3.76),NE*lsf); dot((6,0),ds); label("$M$", (5.9,-0.33),NE*lsf); dot((4,2),ds); label("$P$", (4.02,2.08),NE*lsf); dot((4,4),ds); label("$S$", (3.94,4.12),NE*lsf); dot((8.14,0),ds); label("$E$", (8.2,0.09),NE*lsf); clip((-1.95,-6.96)--(-1.95,4.99)--(12.24,4.99)--(12.24,-6.96)--cycle); [/asy] Amir

3 (a) Para todo entero positivo $n$ demuestre que \[1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2} <2\] (b) Sea $X=\{1, 2, 3 ,\ldots, n\} \ ( n \geq 1)$ y sean $A_k$ subconjuntos no vacíos de $X \ (k=1,2,3, \ldots , 2^n -1).$ Si $a_k$ es el producto de todos los elementos del conjunto $A_k,$ demuestre que \[\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^m \frac{1}{a_i \cdot j^2} <2n+1\] Amir

1 (a) Considere el conjunto de todos los triángulos $ABC$ inscritos en una circunferencia de radio $R.$ ¿Cuándo es máxima $AB^2+BC^2+CA^2$? Halle este máximo. (b) Considere el conjunto de todos los tetraedros $ABCD$ inscritos en una esfera de radio $R.$ ¿Cuándo es máxima la suma de los cuadrados de las seis aristas de $ABCD$? Halle este máximo y, en este caso, demuestre que todas las aristas son iguales. Amir

2 Sea $\alpha$ una raíz de la ecuación $x^3-5x+3=0$ y sea $f(x)$ un polinomio con coeficientes racionales. Demuestre que si $f(\alpha)$ es una raíz de la ecuación anterior, entonces $f(f(\alpha))$ también es una raíz. Amir

3 Queremos recubrir un rectángulo de $5 \times 137$ con las siguientes figuras; demuestre que esto es imposible. \[\text{Squars are the same and all are } \Huge{1 \times 1}\] [asy] import graph; size(400); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; pen xdxdff = rgb(0.49,0.49,1); draw((2,4)--(0,4),linewidth(2pt)); draw((0,4)--(0,0),linewidth(2pt)); draw((0,0)--(2,0),linewidth(2pt)); draw((2,0)--(2,1),linewidth(2pt)); draw((2,1)--(0,1),linewidth(2pt)); draw((1,0)--(1,4),linewidth(2pt)); draw((2,4)--(2,3),linewidth(2pt)); draw((2,3)--(0,3),linewidth(2pt)); draw((0,2)--(1,2),linewidth(2pt)); label("(1)", (0.56,-1.54), SE*lsf); draw((4,2)--(4,1),linewidth(2pt)); draw((7,2)--(7,1),linewidth(2pt)); draw((4,2)--(7,2),linewidth(2pt)); draw((4,1)--(7,1),linewidth(2pt)); draw((6,0)--(6,3),linewidth(2pt)); draw((5,3)--(5,0),linewidth(2pt)); draw((5,0)--(6,0),linewidth(2pt)); draw((5,3)--(6,3),linewidth(2pt)); label("(2)", (5.13,-1.46), SE*lsf); draw((9,0)--(9,3),linewidth(2pt)); draw((10,3)--(10,0),linewidth(2pt)); draw((12,3)--(12,0),linewidth(2pt)); draw((11,0)--(11,3),linewidth(2pt)); draw((9,2)--(12,2),linewidth(2pt)); draw((12,1)--(9,1),linewidth(2pt)); draw((9,3)--(10,3),linewidth(2pt)); draw((11,3)--(12,3),linewidth(2pt)); draw((12,0)--(11,0),linewidth(2pt)); draw((9,0)--(10,0),linewidth(2pt)); label("(3)", (10.08,-1.48), SE*lsf); draw((14,1)--(17,1),linewidth(2pt)); draw((15,2)--(17,2),linewidth(2pt)); draw((15,2)--(15,0),linewidth(2pt)); draw((15,0)--(14,0)); draw((14,1)--(14,0),linewidth(2pt)); draw((16,2)--(16,0),linewidth(2pt)); label("(4)", (15.22,-1.5), SE*lsf); draw((14,0)--(16,0),linewidth(2pt)); draw((17,2)--(17,1),linewidth(2pt)); draw((19,3)--(19,0),linewidth(2pt)); draw((20,3)--(20,0),linewidth(2pt)); draw((20,3)--(19,3),linewidth(2pt)); draw((19,2)--(20,2),linewidth(2pt)); draw((19,1)--(20,1),linewidth(2pt)); draw((20,0)--(19,0),linewidth(2pt)); label("(5)", (19.11,-1.5), SE*lsf); dot((0,0),ds); dot((0,1),ds); dot((0,2),ds); dot((0,3),ds); dot((0,4),ds); dot((1,4),ds); dot((2,4),ds); dot((2,3),ds); dot((1,3),ds); dot((1,2),ds); dot((1,1),ds); dot((2,1),ds); dot((2,0),ds); dot((1,0),ds); dot((5,0),ds); dot((6,0),ds); dot((5,1),ds); dot((6,1),ds); dot((5,2),ds); dot((6,2),ds); dot((5,3),ds); dot((6,3),ds); dot((7,2),ds); dot((7,1),ds); dot((4,1),ds); dot((4,2),ds); dot((9,0),ds); dot((9,1),ds); dot((9,2),ds); dot((9,3),ds); dot((10,0),ds); dot((11,0),ds); dot((12,0),ds); dot((10,1),ds); dot((10,2),ds); dot((10,3),ds); dot((11,1),ds); dot((11,2),ds); dot((11,3),ds); dot((12,1),ds); dot((12,2),ds); dot((12,3),ds); dot((14,0),ds); dot((15,0),ds); dot((16,0),ds); dot((15,1),ds); dot((14,1),ds); dot((16,1),ds); dot((15,2),ds); dot((16,2),ds); dot((17,2),ds); dot((17,1),ds); dot((19,0),ds); dot((20,0),ds); dot((19,1),ds); dot((20,1),ds); dot((19,2),ds); dot((20,2),ds); dot((19,3),ds); dot((20,3),ds); clip((-0.41,-10.15)--(-0.41,8.08)--(21.25,8.08)--(21.25,-10.15)--cycle); [/asy] Amir

1 (a) Sea $n$ un entero positivo; demuestre que \[ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} < \frac{1}{2 \sqrt n}\] (b) Halle un entero positivo $n$ para el cual \[ \bigg\lfloor 1 +\frac{1}{\sqrt 2} +\frac{1}{\sqrt 3} +\frac{1}{\sqrt 4} + \cdots +\frac{1}{\sqrt n} \bigg\rfloor =12\] Amir

2 Se da una esfera $S$ con centro $O$ y radio $R$ . Sea $P$ un punto fijo de esta esfera. Los puntos $A,B,C$ se mueven sobre la esfera $S$ de modo que $\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 90^\circ.$ Demuestre que el plano del triángulo $ABC$ pasa por un punto fijo. Amir

3 Sea $\{a_n\}_{n \geq 1}$ una sucesión en la cual $a_1=1$ y $a_2=2$ y \[a_{n+1}=1+a_1a_2a_3 \cdots a_{n-1}+(a_1a_2a_3 \cdots a_{n-1} )^2 \qquad \forall n \geq 2.\] Demuestre que \[\lim_{n \to \infty} \biggl( \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\cdots + \frac{1}{a_n} \biggr) =2\] Amir

3 Una recta $d$ se llama fiel al triángulo $ABC$ si $d$ está en el plano del triángulo $ABC$ y las reflexiones de $d$ respecto a los lados de $ABC$ son concurrentes. Demuestre que para cualesquiera dos triángulos con ángulos agudos situados en el mismo plano, o bien existe exactamente una recta fiel para ambos, o bien existen infinitas rectas fieles para ellos. Amir