7 Un cargador tiene dos carretillas. Una de ellas puede llevar hasta 8 kg, y la otra hasta 9 kg. En un almacén hay una cantidad finita de sacos de arena. Se sabe que su peso total es más de 17 kg, mientras que cada saco pesa no más de 1 kg. ¿Cuál es el peso máximo de arena que el cargador puede llevar en sus dos carretillas, sin importar los pesos particulares de los sacos? Autor: M. Ivanov, D. Rostovsky, V. Frank

8 Se da un hexágono convexo. Sea \( s\) la suma de las longitudes de los tres segmentos que unen los puntos medios de sus lados opuestos. Demuestra que existe un punto en el hexágono tal que la suma de sus distancias a las rectas que contienen los lados del hexágono no excede \( s.\) Autor: N. Sedrakyan

Dada una sucesión de enteros positivos $\{x_k\}_{k\geq 1}$ tal que $x_1=1$ y para todo $n\geq 1$ se tiene $$ x_{n+1}^2+P(n)=x_n x_{n+2} $$ donde $P(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros no negativos. Demuestra que $P(x)$ es el polinomio constante. Propuesto por Navid Safaei

2011.2 En la siguiente figura, el triángulo $[ABC]$ tiene la misma área que el triángulo equilátero $[ACD]$, cuyos lados miden $1$. Los puntos $B$, $C$ y $D$ pertenecen a la misma recta. Determina la longitud de $[AB]$.

1 Para números reales positivos $a,b,c,d$ tales que $$ \dfrac{a^2}{b+c+d} + \dfrac{b^2}{a+c+d} + \dfrac{c^2}{a+b+d} = \dfrac{3d^2}{a+b+c} $$ demuestra que $$ \dfrac{3}{a}+ \dfrac{3}{b} + \dfrac{3}{c}+ \dfrac{3}{d} \geq \dfrac{16}{a+b+2d} + \dfrac{16}{b+c+2d} + \dfrac{16}{a+c+2d}. $$ Propuesto por Mojtaba Zare

Se da una función suprayectiva $g: \mathbb{C} \to \mathbb C$. Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{C} \to \mathbb C$ tales que para todo $x,y\in \mathbb C$ se cumple $$ |f(x)+g(y)| = | f(y) + g(x)|. $$ Propuesto por Mojtaba Zare, Amirabbas Mohammadi

1 Tanya y Serezha se turnan para poner fichas en casillas vacías de un tablero de ajedrez. Tanya comienza poniendo una ficha en una casilla arbitraria. En cada movimiento siguiente, Serezha debe poner una ficha en la columna donde Tanya puso su última ficha, mientras que Tanya debe poner una ficha en la fila donde Serezha puso su última ficha. El jugador que no pueda hacer un movimiento pierde. ¿Cuál de los jugadores tiene una estrategia ganadora? Propuesto por A. Golovanov

2 Sea $P(x)$ un trinomio cuadrático real, tal que para todo $x\in \mathbb{R}$ se cumple la desigualdad $P(x^3+x)\geq P(x^2+1)$. Encuentra la suma de las raíces de $P(x)$. Propuesto por A. Golovanov, M. Ivanov, K. Kokhas

Sea \( P \) un punto en el interior del triángulo \( ABC \), tal que \[ \angle PAB = \angle PCB = \dfrac {1} {4} (\angle A + \angle C). \] Sea \( L \) el pie de la bisectriz del ángulo \( B \). La recta \( PL \) corta a la circunferencia circunscrita del triángulo \( APC \) en el punto \( Q \). Demuestra que \( QB \) es la bisectriz del ángulo \( AQC \). Propuesto por S. Berlov.

Sea $p=4k+3$ un primo. Demuestra que si \[ \dfrac {1} {0^2+1}+\dfrac{1}{1^2+1}+\cdots+\dfrac{1}{(p-1)^2+1}=\dfrac{m} {n} \] (donde la fracción $\dfrac {m} {n}$ está reducida), entonces $p \mid 2m-n$. Propuesto por A. Golovanov