2 Encuentra el área mínima posible de un conjunto convexo en el plano que interseque ambas ramas de la hipérbola $ xy=1$ y ambas ramas de la hipérbola $ xy=-1.$ (Un conjunto $ S$ en el plano se llama convexo si para cualesquiera dos puntos en $ S$ el segmento de recta que los une está contenido en $ S.$ ) Kent

Sea \( k \) un entero positivo. Supón que los enteros \( 1,2,3,\dots,3k + 1 \) se escriben en orden aleatorio. ¿Cuál es la probabilidad de que en ningún momento durante este proceso, la suma de los enteros que se han escrito hasta ese momento sea un entero positivo divisible por \( 3 \)? Tu respuesta debe estar en forma cerrada, pero puede incluir factoriales. Kent

4 Sea $ n$ un entero positivo. Encuentra el número de pares $ P,Q$ de polinomios con coeficientes reales tales que \[ (P(X))^2+(Q(X))^2=X^{2n}+1\] y $ \text{deg}P<\text{deg}{Q}.$ Kent

5 Sea $ k$ un entero positivo. Demuestra que existen polinomios $ P_0(n),P_1(n),\dots,P_{k-1}(n)$ (que pueden depender de $ k$) tales que para cualquier entero $ n,$ \[ \left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor^k=P_0(n)+P_1(n)\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor+ \cdots+P_{k-1}(n)\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor^{k-1}.\] ( $ \lfloor a\rfloor$ significa el mayor entero $ \le a.$ ) Kent

Una triangulación $ \mathcal{T}$ de un polígono $ P$ es una colección finita de triángulos cuya unión es $ P,$ y tal que la intersección de cualesquiera dos triángulos es vacía, o un vértice compartido, o un lado compartido. Además, cada lado de $ P$ es lado de exactamente un triángulo en $ \mathcal{T}.$ Di que $ \mathcal{T}$ es admisible si todo vértice interno es compartido por $ 6$ o más triángulos. Por ejemplo [asy] size(100); dot(dir(-100)^^dir(230)^^dir(160)^^dir(100)^^dir(50)^^dir(5)^^dir(-55)); draw(dir(-100)--dir(230)--dir(160)--dir(100)--dir(50)--dir(5)--dir(-55)--cycle); pair A = (0,-0.25); dot(A); draw(A--dir(-100)^^A--dir(230)^^A--dir(160)^^A--dir(100)^^A--dir(5)^^A--dir(-55)^^dir(5)--dir(100)); [/asy] Demuestra que existe un entero $ M_n,$ que depende solo de $ n,$ tal que cualquier triangulación admisible de un polígono $ P$ con $ n$ lados tiene a lo más $ M_n$ triángulos.

A1 Encuentra el volumen de la región de puntos $(x,y,z)$ tales que \[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+8\right)^{2}\le 36\left(x^{2}+y^{2}\right). \] Kent

A2 Alice y Bob juegan un juego en el que se turnan para quitar piedras de un montón que inicialmente tiene $n$ piedras. El número de piedras que se quitan en cada turno debe ser uno menos que un número primo. El ganador es el jugador que toma la última piedra. Alice juega primero. Demuestra que hay infinitos $n$ tales que Bob tiene una estrategia ganadora. (Por ejemplo, si $n=17,$ entonces Alice podría tomar $6$ dejando $11;$ luego Bob podría tomar $1$ dejando $10;$ entonces Alice puede tomar las piedras restantes para ganar.) Kent

A3 Sea $1,2,3,\dots,2005,2006,2007,2009,2012,2016,\dots$ una sucesión definida por $x_{k}=k$ para $k=1,2\dots,2006$ y $x_{k+1}=x_{k}+x_{k-2005}$ para $k\ge 2006.$ Demuestra que la sucesión tiene 2005 términos consecutivos cada uno divisible por 2006. Kent

A4 Sea $S=\{1,2\dots,n\}$ para algún entero $n>1.$ Di que una permutación $\pi$ de $S$ tiene un máximo local en $k\in S$ si \[\begin{array}{ccc}\text{(i)}&\pi(k)>\pi(k+1)&\text{para }k=1\\ \text{(ii)}&\pi(k-1)<\pi(k)\text{ y }\pi(k)>\pi(k+1)&\text{para }1<k<n\\ \text{(iii)}&\pi(k-1)M\pi(k)&\text{para }k=n\end{array}\] (Por ejemplo, si $n=5$ y $\pi$ toma valores en $1,2,3,4,5$ de $2,1,4,5,3,$ entonces $\pi$ tiene un máximo local de $2$ en $k=1,$ y un máximo local en $k-4.$ ) ¿Cuál es el número promedio de máximos locales de una permutación de $S,$ promediando sobre todas las permutaciones de $S?$ Kent

Sea $n$ un entero positivo impar y sea $\theta$ un número real tal que $\theta/\pi$ es irracional. Define $a_{k}=\tan(\theta+k\pi/n),\ k=1,2\dots,n.$ Demuestra que \[\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\] es un entero, y determina su valor.