68 Sean $\alpha,\beta,\gamma$ números reales positivos tales que $\alpha+\beta+\gamma < \pi$ , $\alpha+\beta > \gamma$ , $ \beta+\gamma > \alpha$ , $\gamma + \alpha > \beta.$ Demuestre que con los segmentos de longitudes $\sin \alpha, \sin \beta, \sin \gamma $ se puede construir un triángulo y que su área no es mayor que \[A=\dfrac 18\left( \sin 2\alpha+\sin 2\beta+ \sin 2\gamma \right).\] Propuesto por la Unión Soviética Amir

69 Sea $n\ge2$ un entero. Demuestre que si $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\le k\le\sqrt{n\over3}$ , entonces $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\le k\le n-2$ . (Problema 6 de la OMI) Formulación original Sea $f(x) = x^2 + x + p$ , $p \in \mathbb N.$ Demuestre que si los números $f(0), f(1), \cdots , f(\sqrt{p\over 3} )$ son primos, entonces todos los números $f(0), f(1), \cdots , f(p - 2)$ son primos. Propuesto por la Unión Soviética. Amir

70 En un triángulo acutángulo $ABC$ la bisectriz interior del ángulo $A$ corta a $BC$ en $L$ y corta nuevamente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $N$ . Desde $L$ se trazan perpendiculares a $AB$ y $AC$ , con pies $K$ y $M$ respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $AKNM$ y el triángulo $ABC$ tienen áreas iguales. (Problema 2 de la OMI) Propuesto por la Unión Soviética. Amir

72 ¿Es posible cubrir un rectángulo de dimensiones $m \times n$ con ladrillos que tienen la forma angular de triminó (una disposición de tres cuadrados unitarios que forman la letra $\text L$ ) si: (a) $m \times n = 1985 \times 1987;$ (b) $m \times n = 1987 \times 1989 \quad ?$ Amir

73 Sea $f(x)$ una función periódica de período $T > 0$ definida sobre $\mathbb R$ . Su primera derivada es continua en $\mathbb R$ . Demuestre que existen $x, y \in [0, T )$ tales que $x \neq y$ y \[f(x)f'(y)=f'(x)f(y).\] Amir

74 ¿Existe una función $f : \mathbb N \to \mathbb N$ tal que $f(f(n)) =n + 1987$ para todo número natural $n$ ? (Problema 4 de la OMI) Propuesto por Vietnam. Amir

75 Sean $a_k$ números positivos tales que $a_1 \geq 1$ y $a_{k+1} -a_k \geq 1 \ (k = 1, 2, . . . )$ . Demuestre que para todo $n \in \mathbb N,$ \[\sum_{k=1}^{1987}\frac{1}{a_{k+1} \sqrt[1987]{a_k}} <1987\] Amir

76 Dadas dos sucesiones de números positivos $\{a_k\}$ y $\{b_k\} \ (k \in \mathbb N)$ tales que: (i) $a_k < b_k,$ (ii) $\cos a_kx + \cos b_kx \geq -\frac 1k $ para todo $k \in \mathbb N$ y $x \in \mathbb R,$ demuestre la existencia de $\lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{b_k}$ y halle este límite. Amir

77 Halle el menor entero positivo $k$ tal que para cualquier $a \in [0, 1]$ y cualquier entero positivo $n,$ \[a^k(1 - a)^n < \frac{1}{(n+1)^3}.\] Amir

78 Demuestre que para todo número natural $k$ ( $k \geq 2$ ) existe un número irracional $r$ tal que para todo número natural $m$ , \[[r^m] \equiv -1 \pmod k .\] Observación. Una variante más fácil: Halle $r$ como raíz de un polinomio de segundo grado con coeficientes enteros. Propuesto por Yugoslavia. Amir