2 Un círculo está dividido en $432$ arcos congruentes por $432$ puntos. Los puntos se colorean con cuatro colores de modo que algunos $108$ puntos son de color Rojo, algunos $108$ puntos son de color Verde, algunos $108$ puntos son de color Azul, y los restantes $108$ puntos son de color Amarillo. Demuestra que se pueden elegir tres puntos de cada color de tal manera que los cuatro triángulos formados por los puntos elegidos del mismo color sean congruentes.

Sea $\delta_0=\triangle A_0B_0C_0$ un triángulo. Sobre cada uno de los lados $B_0C_0$ , $C_0A_0$ , $A_0B_0$ se construyen cuadrados en el semiplano que no contiene al vértice respectivo $A_0,B_0,C_0$ , y $A_1,B_1,C_1$ son los centros de los cuadrados construidos. Si usamos el triángulo $\delta_1=\triangle A_1B_1C_1$ de la misma manera, podemos construir el triángulo $\delta_2=\triangle A_2B_2C_2$ ; a partir de $\delta_2=\triangle A_2B_2C_2$ podemos construir $\delta_3=\triangle A_3B_3C_3$ , y así sucesivamente. Demuestre que: (a) los segmentos $A_0A_1,B_0B_1,C_0C_1$ son respectivamente iguales y perpendiculares a $B_1C_1,C_1A_1,A_1B_1$ ; (b) los vértices $A_1,B_1,C_1$ del triángulo $\delta_1$ se encuentran respectivamente sobre los segmentos $A_0A_3,B_0B_3,C_0C_3$ (definidos por los vértices de $\delta_0$ y $\delta_1$ ) y los dividen en la razón $2:1$ . K. Dochev

3 La maestra dio a cada uno de sus $37$ estudiantes $36$ lápices de diferentes colores. Resultó que cada par de estudiantes recibió exactamente un lápiz del mismo color. Determine el menor número posible de colores diferentes de lápices distribuidos.

4 Encuentra todos los enteros positivos \(a\) y \(b\) para los cuales existen tres enteros consecutivos en los que el polinomio \[ P(n) = \frac{n^5+a}{b} \] toma valores enteros.

1 Determina todas las soluciones enteras no negativas \( (n_{1},n_{2},\dots , n_{14}) \), si las hay, salvo permutaciones, de la ecuación diofántica \[n_{1}^{4}+n_{2}^{4}+\cdots+n_{14}^{4}=1,599.\]

2 Sea $f$ un polinomio cuadrático arbitrario con coeficientes reales. ¿Existen números $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ que formen una sucesión aritmética tales que todos los elementos del conjunto $F=\{f(x_{1}),f(x_{2}),\ldots,f(x_{n})\}$ , en algún orden, también formen una sucesión aritmética con diferencia común no nula, en los siguientes casos: (a) $n=3$ ; (b) $n=4$ ?

3 Sea $F = \max_{1 \leq x \leq 3} |x^3 - ax^2 - bx - c|$ . Cuando $a$ , $b$ , $c$ recorren todos los números reales, halle el menor valor posible de $F$ .

N1 Determina todas las sucesiones infinitas $a_1, a_2, \ldots$ de enteros positivos, tales que \[2024\left(a_{n+1}^3 + 1\right) = (2024a_na_{n+1} + 1)(a_{n+2} + 2023)\] para cualquier entero positivo $n$.

2 Sean $\theta_i \in \left ( 0,\frac{\pi}{4} \right ]$ para $i=1,2,3,4$ . Demuestre que: $\tan \theta _1 \tan \theta _2 \tan \theta _3 \tan \theta _4 \le (\frac{\sin^8 \theta _1+\sin^8 \theta _2+\sin^8 \theta _3+\sin^8 \theta _4}{\cos^8 \theta _1+\cos^8 \theta _2+\cos^8 \theta _3+\cos^8 \theta _4})^\frac{1}{2}$

1 Una coloración del conjunto de los enteros mayores o iguales que $1$ debe hacerse de acuerdo con la siguiente regla: cada número se colorea de azul o de rojo, de modo que la suma de cualesquiera dos números (no necesariamente distintos) del mismo color sea azul. Determine todas las coloraciones posibles del conjunto de los enteros mayores o iguales que $1$ que siguen esta regla.