1 Suponga que $\theta_{i}\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}), i = 1,2,3,4$ . Demuestre que existen $x\in \mathbb{R}$ que satisfacen las dos desigualdades \begin{eqnarray*} \cos^2\theta_1\cos^2\theta_2-(\sin\theta\sin\theta_2-x)^2 &\geq& 0, \\ \cos^2\theta_3\cos^2\theta_4-(\sin\theta_3\sin\theta_4-x)^2 & \geq & 0 \end{eqnarray*} si y solo si \[ \sum^4_{i=1}\sin^2\theta_i\leq2(1+\prod^4_{i=1}\sin\theta_i + \prod^4_{i=1}\cos\theta_i). \]

2 Una circunferencia corta a los tres lados $BC,CA,AB$ de un triángulo $ABC$ en los puntos $D_1,D_2;E_1,E_2; F_1,F_2$ respectivamente. Además, los segmentos $D_1E_1$ y $D_2F_2$ se intersecan en el punto $L$ , los segmentos $E_1F_1$ y $E_2D_2$ se intersecan en el punto $M$ , los segmentos $F_1D_1$ y $F_2E_2$ se intersecan en el punto $N$ . Demuestre que las rectas $AL,BM,CN$ son concurrentes.

3 Como se muestra en la figura, un estanque está dividido en 2n (n $\geq$ 5) partes. Dos partes se llaman vecinas si tienen un lado o un arco en común. Así, cada parte tiene tres vecinas. Ahora hay 4n+1 ranas en el estanque. Si hay tres o más ranas en una parte, entonces tres de las ranas de esa parte saltarán a las tres vecinas respectivamente. Demuestre que después de algún tiempo, las ranas del estanque se distribuirán uniformemente. Es decir, para cualquier parte, o bien hay ranas en la parte o bien hay ranas en cada una de sus vecinas. Archivo de imagen no válido

4 La sucesión $\{a_n\}$ se define por: $a_1=\frac{21}{16}$ , y para $n\ge2$ , \[ 2a_n-3a_{n-1}=\frac{3}{2^{n+1}}. \] Sea $m$ un entero con $m\ge2$ . Demuestre que: para $n\le m$ , se tiene \[ \left(a_n+\frac{3}{2^{n+3}}\right)^{\frac{1}{m}}\left(m-\left(\frac{2}{3}\right)^{{\frac{n(m-1)}{m}}}\right)<\frac{m^2-1}{m-n+1}. \]

5 Hay 5 puntos en un rectángulo (incluyendo su frontera) de área 1, y no hay tres de ellos en la misma recta. Halle el número mínimo de triángulos con área no mayor que $\frac 1{4}$ , cuyos vértices son tres de los cinco puntos.

6 Halle todas las soluciones enteras no negativas $(x,y,z,w)$ de la ecuación \[2^x\cdot3^y-5^z\cdot7^w=1.\]

1 Sean $EFGH,ABCD$ y $E_1F_1G_1H_1$ tres cuadriláteros convexos que satisfacen: i) Los puntos $E,F,G$ y $H$ están en los lados $AB,BC,CD$ y $DA$ respectivamente, y $\frac{AE}{EB}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot \frac{CG}{GD}\cdot \frac{DH}{HA}=1$ ; ii) Los puntos $A,B,C$ y $D$ están en los lados $H_1E_1,E_1F_1,F_1,G_1$ y $G_1H_1$ respectivamente, y $E_1F_1||EF,F_1G_1||FG,G_1H_1||GH,H_1E_1||HE$ . Suponga que $\frac{E_1A}{AH_1}=\lambda$ . Halle una expresión para $\frac{F_1C}{CG_1}$ en términos de $\lambda$ . Xiong Bin

2 Sea $c$ un entero positivo. Considere la sucesión $x_1,x_2,\ldots$ que satisface $x_1=c$ y, para $n\ge 2$ , \[x_n=x_{n-1}+\left\lfloor\frac{2x_{n-1}-(n+2)}{n}\right\rfloor+1\] donde $\lfloor x\rfloor$ denota el mayor entero no mayor que $x$ . Determine una expresión para $x_n$ en términos de $n$ y $c$ . Huang Yumin

3 Sea $M$ un conjunto formado por $n$ puntos en el plano, que satisface: i) existen $7$ puntos en $M$ que constituyen los vértices de un heptágono convexo; ii) si cualesquiera $5$ puntos en $M$ constituyen los vértices de un pentágono convexo, entonces hay un punto en $M$ que está en el interior del pentágono. Halle el valor mínimo de $n$ . Leng Gangsong

1 Para un número real dado $a$ y un entero positivo $n$ , demuestre que: i) existe exactamente una sucesión de números reales $x_0,x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}$ tal que \[\begin{cases} x_0=x_{n+1}=0,\\ \frac{1}{2}(x_i+x_{i+1})=x_i+x_i^3-a^3,\ i=1,2,\ldots,n.\end{cases}\] ii) la sucesión $x_0,x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}$ de i) satisface $|x_i|\le |a|$ donde $i=0,1,\ldots,n+1$ . Liang Yengde