8.2 Las bisectrices de los ángulos $A$ , $B$ y $C$ del triángulo $ABC$ cortan por segunda vez a su circunferencia circunscrita en los puntos $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ , respectivamente. Sean $A_2$ , $B_2$ , $C_2$ los puntos medios de los segmentos $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ , respectivamente. Demuestre que los triángulos $A_1B_1C_1$ y $A_2B_2C_2$ son semejantes.

8.1 Sea $ABC$ un triángulo isósceles obtusángulo, y sea $D$ un punto de su base $AB$ tal que $AD$ es igual al circunradio del triángulo $BCD$ . Halle el valor de $\angle ACD$ .

24 Sea un tetraedro $ABCD$ . Una recta $\ell$ corta a los planos $ABC,BCD,CDA,DAB$ en los puntos $D_0,A_0,B_0,C_0$ , respectivamente. Sea $P$ un punto arbitrario que no está en $\ell$ ni en los planos de las caras, y sean $A_1,B_1,C_1,D_1$ los segundos puntos comunes de las rectas $PA_0,PB_0,PC_0,PD_0$ con las esferas $PBCD,PCDA,PDAB,PABC$ , respectivamente. Demuestre que $P,A_1,B_1,C_1,D_1$ están en una circunferencia.

4 Sea $n$ un entero positivo y sean $P,Q$ polinomios con coeficientes reales tales que $P(x)=x^nQ(\frac{1}{x})$ y $P(x) \geq Q(x)$ para todo número real $x$ . Demuestre que $P(x)=Q(x)$ para todo número real $x$ .

g7.1.6 Sea $\vartriangle ABC$ un triángulo con $AB > AC$, su incírculo es tangente a $BC$ en $D$. Sea $DE$ un diámetro del incírculo, y sea $F$ la intersección entre la recta $AE$ y el lado $BC$. Encuentra la razón entre las áreas de $\vartriangle DEF$ y $\vartriangle ABC$ en términos de las tres longitudes de los lados de $\vartriangle ABC$.

23 Una elipse $\Gamma_1$ con focos en los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ de un triángulo $ABC$ pasa por $A$ , y una elipse $\Gamma_2$ con focos en los puntos medios de $AC$ y $BC$ pasa por $C$ . Demuestre que los puntos comunes de estas elipses y el ortocentro del triángulo $ABC$ son colineales.

22 Sea $ABC$ un triángulo escaleno, sea $M$ el punto medio de $BC,P$ , punto común de $AM$ y la circunferencia inscrita de $ABC$ más cercano a $A$ , y sea $Q$ el punto común de la semirrecta $AM$ y la circunferencia exinscrita más alejado de $A$ . La tangente a la circunferencia inscrita en $P$ corta a $BC$ en el punto $X$ , y la tangente a la circunferencia exinscrita en $Q$ corta a $BC$ en $Y$ . Demuestre que $MX=MY$ .

21 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico; sea $M_{ac}$ el punto medio de $AC$ ; sean $H_d,H_b$ los ortocentros de $\triangle ABC,\triangle ADC$ respectivamente; sean $P_d,P_b$ las proyecciones de $H_d$ y $H_b$ sobre $BM_{ac}$ y $DM_{ac}$ respectivamente. Defina análogamente $P_a,P_c$ para la diagonal $BD$ . Demuestre que $P_a,P_b,P_c,P_d$ son concíclicos.

20 Sea $D$ un punto sobre la mediana $AM$ de un triángulo $ABC$ . Las tangentes a la circunferencia circunscrita del triángulo $BDC$ en los puntos $B$ y $C$ se cortan en el punto $K$ . Demuestre que $DD'$ es paralela a $AK$ , donde $D'$ es el conjugado isogonal de $D$ con respecto a $ABC$ .

19 Dado un cuadrilátero cíclico $ABCD$ . Una circunferencia arbitraria que pasa por $C$ y $D$ corta a $AC,BC$ en los puntos $X,Y$ respectivamente. Halle el lugar geométrico de los puntos comunes de las circunferencias $CAY$ y $CBX$ .