8 Hay $n$ aborígenes en una isla. Cualesquiera dos de ellos son amigos o enemigos. Un día, el cacique ordena que todos los ciudadanos (incluido él mismo) hagan y usen un collar con cero o más piedras, de modo que: (i) dado un par de amigos, existe un color tal que cada uno tiene una piedra de ese color; (ii) dado un par de enemigos, no existe un color tal que cada uno tenga una piedra de ese color. (a) Demuestre que los aborígenes pueden cumplir la orden del cacique. (b) ¿Cuál es el número mínimo de colores de piedras necesario para que los aborígenes cumplan la orden del cacique?

2 Halle el número de pares $(n, q)$ , donde $n$ es un entero positivo y $q$ un número racional no entero con $0 < q < 2000$ , que satisfacen $\{q^2\}=\left\{\frac{n!}{2000}\right\}$

3 Sea $N \ge 5$ dado. Considere todas las sucesiones $(e_1,e_2,...,e_N)$ con cada $e_i$ igual a $1$ o $-1$ . En cada movimiento se pueden elegir cinco términos consecutivos cualesquiera y cambiar sus signos. Se dice que dos sucesiones son similares si una de ellas puede transformarse en la otra mediante un número finito de movimientos. Halle el número máximo de sucesiones de longitud $N$ no similares entre sí.

4 Los lados laterales y las diagonales de un trapecio intersecan a una recta $l$ , determinando sobre ella tres segmentos iguales. ¿Debe ser $l$ paralela a las bases del trapecio?

5 Se dan nueve puntos en un plano, de los cuales no hay tres sobre una misma recta. Cualesquiera dos de estos puntos se unen con un segmento. ¿Es posible colorear estos segmentos con varios colores de modo que, para cada color, haya exactamente tres segmentos de ese color y esos tres segmentos formen un triángulo?

6 Un vértice de un tetraedro se llama perfecto si las tres aristas incidentes a ese vértice son lados de un cierto triángulo. ¿Cuántos vértices perfectos puede tener un tetraedro?

7 (a) Halle todos los enteros positivos $n$ para los cuales la ecuación $(a^a)^n = b^b$ tiene una solución en enteros positivos $a,b$ mayores que $1$ . (b) Halle todos los enteros positivos $a, b$ que satisfacen $(a^a)^5=b^b$

8 A cualquier triángulo con lados de longitudes $a,b,c$ y los ángulos correspondientes $\alpha, \beta, \gamma$ (medidos en radianes), se le asigna la 6-tupla $(a,b,c,\alpha, \beta, \gamma)$ . Halle el número mínimo posible $n$ de términos distintos en la 6-tupla asignada a un triángulo escaleno.

1 Evalúe el producto $\prod_{k=0}^{2^{1999}}(4\sin^2 \frac{k\pi}{2^{2000}}-3)$

2 Sean $m, n$ enteros positivos. Partiendo de todos los enteros positivos escritos en una línea, podemos formar una lista de números de dos maneras: $(1)$ Borrando cada $m$ - ésimo y luego, en la lista obtenida, borrando cada $n$ - ésimo número; $(2)$ Borrando cada $n$ - ésimo número y luego, en la lista obtenida, borrando cada $m$ - ésimo número. Un par $(m,n)$ se llama bueno si, siempre que algún entero positivo $k$ aparece en ambas listas, entonces aparece en ambas listas en la misma posición. (a) Muestre que el par $(2, n)$ es bueno para cualquier $n\in \mathbb{N}$ . (b) ¿Existe un par bueno $(m, n)$ con $2<m<n$ ?