Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2022 Problema 9
9 La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ con centro $I$ toca al lado $BC$ en el punto $D$ . La recta $DI$ interseca al lado $AC$ en el punto $M$ . La tangente trazada desde $M$ a la circunferencia inscrita, distinta de $AC$ , interseca al lado $AB$ en el punto $N$ . La recta $NI$ interseca al lado $BC$ en el punto $P$ . Demuestre que $AB = BP$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2022 Problema 10
10 Resuelva en el conjunto $R$ la ecuación $$2 \cdot [x] \cdot \{x\} = x^2 - \frac32 \cdot x - \frac{11}{16}$$ donde $[x]$ y $\{x\}$ representan la parte entera y la parte fraccionaria del número real $x$ , respectivamente.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2022 Problema 11
11 Halle todos los pares ordenados de enteros positivos $(m, n)$ tales que $2m$ divide al número $3n - 2$ , y $2n$ divide al número $3m - 2$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2022 Problema 12
12 Sean $p$ y $q$ dos enteros distintos. En la pizarra está escrito el trinomio cuadrado $x^2 + px + q$ . En cada paso se borra un número: o bien el coeficiente de $x$ , o bien el término independiente, y en lugar del número borrado se escribe un número que se obtiene del número borrado sumándole o restándole el número $1$ . Después de varios pasos de este tipo, en la pizarra apareció el trinomio cuadrado $x^2 + qx + p$ . Muestre que en alguna etapa estuvo escrito en la pizarra un trinomio cuadrado cuyas dos raíces son enteras.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2021 Problema 1
1 Halle todos los valores del parámetro real $a$ para los cuales la ecuación $(x -6\sqrt{x} + 8)\cdot \sqrt{x- a} = 0$ tiene exactamente dos soluciones reales distintas.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2021 Problema 2
2 En el interior del paralelogramo $ABCD$ se elige un punto $E$ tal que $AE = DE$ y $\angle ABE = 90^o$ . El punto $F$ es el punto medio del lado $BC$ . Halle la medida del ángulo $\angle DFE$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2021 Problema 3
3 Hoy es $26$ de mayo de $2021$ . Esta fecha se escribe tradicionalmente en la forma ( $DD.MM.YYYY$ ) , usando $8$ dígitos, a saber $26.05.2021$ . Halle el día más próximo en el futuro en el que la escritura tradicional de la fecha contenga $8$ dígitos distintos.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2021 Problema 4
4 Halle todos los enteros positivos $a$ , $b$ , $c$ y $p$ , donde $p$ es un número primo, tales que $73p^2 + 6 = 9a^2 + 17b^2 + 17c^2$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2021 Problema 5
5 Sea $ABC$ el triángulo con $\angle ABC = 76^o$ y $\angle ACB = 72^o$ . Los puntos $P$ y $Q$ están sobre los lados $(AB)$ y $(AC)$ , respectivamente, tales que $\angle ABQ = 22^o$ y $\angle ACP = 44^o$ . Halle la medida del ángulo $\angle APQ$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2021 Problema 6
6 Resuelva el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} (x+y)(x^2-y^2)=32 \\ (x-y)(x^2+y^2)=20 \end{cases}$$
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