Sean $BD$ y $CE$ las bisectrices de los ángulos interiores $\angle B$ y $\angle C$ , respectivamente ( $D\in AC$ , $E\in AB$ ) . Considere la circunferencia circunscrita de $ABC$ con centro $O$ y la circunferencia exinscrita correspondiente al lado $BC$ con centro $I_a$ . Estas dos circunferencias se intersecan en los puntos $P$ y $Q$ . (a) Demuestre que $PQ$ es paralela a $DE$ . (b) Demuestre que $I_aO$ es perpendicular a $DE$ .

Sean Q+ y Z los conjuntos de los racionales positivos y de los enteros, respectivamente. Halle todas las funciones f : Q+ → Z que satisfacen las siguientes condiciones: (i) f(1999) = 1; (ii) f(ab) = f(a) + f(b) para todos a, b ∈ Q+; (iii) f(a + b) ≥ min{f(a), f(b)} para todos a, b ∈ Q+.

(a) Si $m, n$ son enteros positivos tales que $2^n-1$ divide a $m^2 + 9$ , demuestre que $n$ es una potencia de $2$ ; (b) Si $n$ es una potencia de $2$ , demuestre que existe un entero positivo $m$ tal que $2^n-1$ divide a $m^2 + 9$ .

Para un entero positivo n, sea $w(n)$ el número de divisores primos distintos de n. Determine el menor entero positivo k tal que $2^{w(n)} \leq k \sqrt[4]{n}$ para todos los enteros positivos n.

En un triángulo $ABC$ , la bisectriz del ángulo en $A$ de un triángulo $ABC$ interseca el segmento $BC$ y la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $A_1$ y $A_2$ , respectivamente. Los puntos $B_1,B_2,C_1,C_2$ se definen de manera análoga. Demuestre que $$\frac{A_1A_2}{BA_2+CA_2}+\frac{B_1B_2}{CB_2+AB_2}+\frac{C_1C_2}{AC_2+BC_2}\ge\frac34.$$

Una sucesión $a_n$ está definida por $$a_0=0,\qquad a_1=3;$$ $$a_n=8a_{n-1}+9a_{n-2}+16\text{ for }n\ge2.$$ . Halle el menor entero positivo $h$ tal que $a_{n+h}-a_n$ es divisible por $1999$ para todo $n\ge0$ .

Suponga que es posible colorear más de la mitad de las caras de un poliedro dado de modo que no haya dos caras coloreadas con una arista común. (a) Describa un poliedro con la propiedad anterior. (b) Demuestre que no se puede inscribir una esfera que toque todas las caras de un poliedro con la propiedad anterior.

Sea N un entero positivo mayor que 2. Numeramos los vértices de un 2n-ágono regular en el sentido de las agujas del reloj con los números 1, 2, . . . ,N,−N,−N + 1, . . . ,−2,−1. Luego procedemos a marcar los vértices de la siguiente manera. En el primer paso marcamos el vértice 1. Si ni es el vértice marcado en el paso i-ésimo, en el paso i+1-ésimo marcamos el vértice que está a |ni| vértices del vértice ni, contando en el sentido de las agujas del reloj si ni es positivo y en sentido contrario si ni es negativo. Este procedimiento se repite hasta llegar a un vértice que ya ha sido marcado. Sea $f(N)$ el número de vértices no marcados. (a) Si $f(N) = 0$ , demuestre que 2N + 1 es un número primo. (b) Calcule $f(1997)$ .

Suponga que $S$ es un conjunto finito de números reales con la propiedad de que cualesquiera dos elementos distintos de $S$ forman una progresión aritmética con otro elemento de $S$ . Dé un ejemplo de tal conjunto con 5 elementos y demuestre que no existe tal conjunto con más de $5$ elementos. Amir.S

Sea $\mathbb N$ el conjunto de los enteros positivos. Halle todas las funciones definidas sobre $\mathbb N$ y que toman valores en $\mathbb N$ que satisfacen, para todo $n\in\mathbb N$ , $$f(n)+f(n+1)=f(n+2)f(n+3)-1998.$$