3 Considere un triángulo acutángulo $ABC$ ; los puntos $E,F$ son los pies de las perpendiculares trazadas desde $B$ y $C$ en $\triangle ABC$ . Los puntos $I$ y $J$ son las proyecciones de los puntos $F,E$ sobre la recta $BC$ ; los puntos $K,L$ están sobre los lados $AB,AC$ , respectivamente, tales que $IK \parallel AC$ y $JL \parallel AB$ . Demuestre que las rectas $IE$ , $JF$ , $KL$ son concurrentes.

4 Considere un entero positivo $n$ y $A = \{ 1,2,...,n \}$ . Llame perfecto a un subconjunto $X \subseteq A$ si $|X| \in X$ . Llame minimal a un subconjunto perfecto $X$ si no contiene otro subconjunto perfecto. Halle el número de subconjuntos minimales de $A$ .

1 Halle todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales que satisfacen $P(2015)=2025$ y $P(x)-10=\sqrt{P(x^{2}+3)-13}$ para todo $x\ge 0$ . izaya-kun

2 Demuestre la igualdad: $\tan (\frac{3\pi}{7})-4\sin (\frac{\pi}{7})= \sqrt{7}$ . izaya-kun

3 Las tangentes a la circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ que son paralelas a los lados del triángulo y no coinciden con ellos, intersecan los lados del triángulo en los puntos $M,N,P,Q,R,S$ tales que $M,S\in (AB)$ , $N,P\in (AC)$ , $Q,R\in (BC)$ . Las bisectrices interiores de los ángulos de $\triangle AMN$ , $\triangle BSR$ y $\triangle CPQ$ , desde los puntos $A,B$ y $C$ , respectivamente, tienen longitudes $l_{1}$ , $l_{2}$ y $l_{3}$ . Demuestre la desigualdad: $\frac {1}{l^{2}_{1}}+\frac {1}{l^{2}_{2}}+\frac {1}{l^{2}_{3}} \ge \frac{81}{p^{2}}$ donde $p$ es el semiperímetro de $\triangle ABC$ . izaya-kun

4 Sean $n$ y $k$ enteros positivos, y sean los conjuntos $X=\{1,2,3,...,n\}$ y $Y=\{1,2,3,...,k\}$ . Sea $P$ el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto $X$ . Halle el número de funciones $ f: P \to Y$ que satisfacen $f(A \cap B)=\min(f(A),f(B))$ para todos $A,B \in P$ . izaya-kun

1 Considere $n \geq 2 $ números positivos $0<x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n$ , tales que $x_1 + x_2 + ... + x_n = 1$ . Demuestre que si $x_n \leq \dfrac{2}{3}$ , entonces existe un entero positivo $1 \leq k \leq n$ tal que $\dfrac{1}{3} \leq x_1+x_2+...+x_k < \dfrac{2}{3}$ .

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Las bisectrices de los ángulos $BAD$ y $BCD$ se intersecan en el punto $K$ tal que $K \in BD$ . Sea $M$ el punto medio de $BD$ . Una recta que pasa por el punto $C$ y es paralela a $AD$ interseca a $AM$ en el punto $P$ . Demuestre que el triángulo $\triangle DPC$ es isósceles.

1 Halle todos los pares de enteros no negativos $(x,y)$ tales que \[\sqrt{x+y}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0.\]

2 Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$ . Determine el valor mínimo de $E(a,b,c) = \sum \dfrac{a^3+5}{a^3(b+c)}$ .