1 Tenemos un triángulo equilátero con circunradio $1$ . Extendemos sus lados. Determine el punto $P$ interior al triángulo tal que la longitud total de los lados (extendidos) que queda dentro del círculo con centro $P$ y radio $1$ sea máxima. (La distancia total del punto P de un triángulo equilátero a sus lados es fija). Propuesto por Erfan Salavati

4 Para cualesquiera $a,b,c>0$ que satisfacen $a+b+c+ab+ac+bc= 3$ , demuestre que \[2\leq a+b+c+abc\leq 3\] Propuesto por Mohammad Ahmadi

5 $p>30$ es un número primo. Demuestre que uno de los siguientes números es de la forma $x^2+y^2$ . $$ p+1 , 2p+1 , 3p+1 , .... , (p-3)p+1$$

1 Sea $ABCD$ el trapecio tal que $AB\parallel CD$ . Sea $E$ un punto arbitrario sobre $AC$ . El punto $F$ está sobre $BD$ tal que $BE\parallel CF$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de $\triangle ABF,\triangle BED$ y la recta $AC$ son concurrentes.

1 Denotemos por $g_n$ el número de grafos conexos de $n$ vértices cuyos vértices están etiquetados con los números $1,2,...,n$ . Demuestre que $g_n \ge (\frac{1}{2}).2^{\frac{n(n-1)}{2}}$ . Nota: si demuestra que para $c < \frac{1}{2}$ se tiene $g_n \ge c.2^{\frac{n(n-1)}{2}}$ , ¡obtendrá algunos puntos! Propuesto por Seyed Reza Hosseini y Mohammad Amin Ghiasi

2 En un torneo de tenis hay participantes de $n$ países diferentes. Cada equipo consta de un entrenador y un jugador que deben alojarse en un hotel. Las habitaciones consideradas para el alojamiento de los entrenadores son diferentes de las de los jugadores. Cada jugador quiere estar en una habitación cuyos compañeros provengan todos de países que tienen un acuerdo de defensa con el país del jugador. Recíprocamente, cada entrenador quiere estar en una habitación cuyos compañeros provengan todos de países que no tienen un acuerdo de defensa con el país del entrenador. Halle el número mínimo de habitaciones tal que siempre podamos conceder el deseo de todos. Propuesto por Seyed Reza Hosseini y Mohammad Amin Ghiasi

3 Tenemos una tabla de $10 \times 10$ . $T$ es un conjunto de rectángulos con vértices en la tabla y lados paralelos a los lados de la tabla tal que ningún rectángulo del conjunto es un subrectángulo de otro rectángulo del conjunto. $t$ es el número máximo de elementos de $T$ . (a) Demuestre que $t>300$ . (b) Demuestre que $t<600$ . Propuesto por Mir Omid Haji Mirsadeghi y Kasra Alishahi

4 Una palabra está formada por una cantidad de letras del alfabeto. Representamos las palabras con letras mayúsculas. Una oración está formada por una cantidad de palabras. Por ejemplo, si $A=aa$ y $B=ab$ , entonces la oración $AB$ es equivalente a $aaab$ . En este lenguaje, $A^n$ indica $\underbrace{AA \cdots A}_{n}$ . Tenemos una ecuación cuando dos oraciones son iguales. Por ejemplo, $XYX=YZ^2$ , y significa que si escribimos las letras alfabéticas que forman las palabras de cada oración, obtenemos dos sucesiones equivalentes de letras alfabéticas. Una ecuación es simplificada si las palabras del lado izquierdo y del lado derecho de las oraciones de ambos lados de la ecuación son diferentes. Nótese que toda palabra contiene al menos una letra alfabética. $\text{a})$ Tenemos una ecuación simplificada en términos de $X$ y $Y$ . Demuestre que tanto $X$ como $Y$ pueden escribirse en la forma de una potencia de una palabra como $Z$ . ( $Z$ puede contener solo una letra alfabética). $\text{b})$ Las palabras $W_1,W_2,\cdots , W_n$ son las respuestas de una ecuación simplificada. Demuestre que podemos producir estas $n$ palabras con menos palabras. $\text{c})$ Las $n$ palabras $W_1,W_2,\cdots , W_n$ son las respuestas de un sistema simplificado de ecuaciones. Defina el grafo $G$ con vértices ${1,2 \cdots ,n}$ tal que $i$ y $j$ están conectados si en una de las ecuaciones $W_i$ y $W_j$ son las dos palabras que aparecen en el lado derecho de cada lado de la ecuación. ( $\cdots W_i = \cdots W_j$ ) . Si denotamos por $c$ el número de componentes conexas de $G$ , demuestre que estas $n$ palabras pueden producirse con a lo sumo $c$ palabras. Propuesto por Mostafa Einollah Zadeh Samadi

5 Un $n$ - minó es una figura conexa formada al unir $n$ cuadrados de $1 \times 1 $ . Dos poliminós son iguales si moviendo el primero podemos alcanzar el segundo. Para un poliminó $P$ , sea $|P|$ el número de cuadrados de $1 \times 1$ que contiene y sea $\partial P$ el número de cuadrados fuera de $P$ tales que cada uno de ellos tiene al menos una arista en común con un cuadrado de $P$ . (a) Demuestre que para todo $x \in (0,1)$ : \[\sum_P x^{|P|}(1-x)^{\partial P}=1\] La suma se realiza sobre todos los poliminós diferentes. (b) Demuestre que para todo poliminó $P$ , $\partial P \leq 2|P|+2$ (c) Demuestre que el número de $n$ - minós es menor que $6.75^n$ . Propuesto por Kasra Alishahi

3 Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que existe un número natural $m$ con exactamente $n$ factores primos, tal que para todo entero positivo $d$ los números de $\{1,2,3,\ldots,m\}$ de orden $d$ módulo $m$ son múltiplos de $\phi (d)$ . (15 puntos)