3 En un plano cartesiano se dibujan $n$ parábolas, todas ellas gráficas de trinomios cuadráticos. No hay dos de ellas tangentes. Dividen el plano en muchas regiones, una de las cuales está por encima de todas las parábolas. Demuestre que la frontera de esta región tiene a lo sumo $2(n-1)$ vértices (es decir, las intersecciones de un par de parábolas).

3 Cualesquiera dos de los números reales $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ difieren en no menos de $1$ . Existe algún número real $k$ que satisface \[a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=2k\] \[a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2=2k^2\] Demuestre que $k^2\ge 25/3$ .

4 Se da una pirámide $SA_1A_2A_3\ldots A_n$ cuya base es el polígono convexo $A_1A_2A_3\ldots A_n$ . Para cada $i=1,2,3,\ldots ,n$ existe un triángulo $X_iA_iA_{i+1} $ congruente con el triángulo $SA_iA_{i+1}$ que se encuentra en el mismo lado de $A_iA_{i+1}$ que la base de esa pirámide. (Se puede suponer que $a_1$ es lo mismo que $a_{n+1}$ . ) Demuestre que estos triángulos juntos cubren toda la base.

2 ¿Existen números naturales $a,b,c$ todos mayores que $10^{10}$ tales que su producto sea divisible por cada uno de estos números aumentado en $2012$ ?

4 El punto $E$ es el punto medio del segmento que une el ortocentro del triángulo escaleno $ABC$ con el punto $A$ . La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ es tangente a $AB$ y $AC$ en los puntos $C'$ y $B'$ , respectivamente. Demuestre que el punto $F$ , simétrico del punto $E$ con respecto a la recta $B'C'$ , se encuentra sobre la recta que pasa por el circuncentro y el incentro del triángulo $ABC$ .

3 Sobre una circunferencia hay $2n+1$ puntos que la dividen en arcos iguales ( $n\ge 2$ ) . Dos jugadores se turnan para borrar un punto cada uno. Si después del turno de un jugador resulta que todos los triángulos formados por los puntos restantes de la circunferencia son obtusángulos, entonces ese jugador gana y el juego termina. ¿Quién tiene una estrategia ganadora: el jugador que empieza o su oponente?

4 Para un entero positivo $n$ defina $S_n=1!+2!+\ldots +n!$ . Demuestre que existe un entero $n$ tal que $S_n$ tiene un divisor primo mayor que $10^{2012}$ .

1 Un trinomio cuadrático $P(x)$ con coeficiente de $x^2$ igual a uno es tal que $P(x)$ y $P(P(P(x)))$ comparten una raíz. Demuestre que $P(0)*P(1)=0$ .

2 Se da un triángulo acutángulo $ABC$ . Una circunferencia que pasa por $B$ y por el circuncentro del triángulo, $O$ , interseca a $BC$ y $BA$ en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente. Demuestre que la intersección de las alturas del triángulo $POQ$ se encuentra sobre la recta $AC$ .

3 En la pizarra está dibujado un 2011-ágono convexo. Pedro va dibujando sus diagonales de modo que cada diagonal recién dibujada interseca a lo sumo una de las diagonales ya dibujadas. ¿Cuál es el mayor número de diagonales que Pedro puede dibujar?