5 Sean $ n \geq 2$ permutaciones $ P_1, P_2, \ldots, P_n$ , cada una de las cuales es una permutación arbitraria de $ \{1,\ldots,n\}.$ Demuestre que \[ \sum^{n-1}_{i=1} \frac{1}{P_i + P_{i+1}} > \frac{n-1}{n+2}.\]

6 Halle todos los pares de enteros positivos $ (x,y)$ tales que \[ x^y = y^{x - y}. \] Albania Valentin

7 Un triángulo acutángulo $ ABC$ tiene tres alturas $ AD, BE$ y $ CF$ respectivamente. Demuestre que el perímetro del triángulo $ DEF$ no supera la mitad del perímetro del triángulo $ ABC.$

8 Suponga que $ A_1, A_2, \ldots, A_8$ son ocho puntos tomados arbitrariamente en un plano. Para una recta dirigida $ l$ tomada arbitrariamente en el plano, suponga que las proyecciones de $ A_1, A_2, \ldots, A_8$ sobre la recta son $ P_1, P_2, \ldots, P_8$ respectivamente. Si las ocho proyecciones son disjuntas dos a dos, pueden ordenarse como $ P_{i_1}, P_{i_2}, \ldots, P_{i_8}$ según la dirección de la recta $ l.$ Así obtenemos una permutación de $ 1, 2, \ldots, 8,$ a saber, $ i_1, i_2, \ldots, i_8.$ En la figura, esta permutación es $ 2, 1, 8, 3, 7, 4, 6, 5.$ Suponga que después de proyectar estos ocho puntos sobre toda recta dirigida del plano, obtenemos el número de permutaciones diferentes $ N_8 = N(A_1, A_2, \ldots, A_8).$ Halle el valor máximo de $ N_8.$

8 Halle el número de enteros $k$ en el conjunto $\{0, 1, 2, \dots, 2012\}$ tales que $\binom{2012}{k}$ es un múltiplo de $2012$.

3 Encuentra todas las soluciones de la ecuación $$\sin\pi \sqrt x+\cos\pi \sqrt x=(-1)^{\lfloor \sqrt x \rfloor }$$

3 Sea $p$ un primo tal que $3|p+1$ . Muestre que $p|a-b$ si y solo si $p|a^3-b^3$

5 Sean $x, y, z$ números reales positivos tales que $x^2 + xy + y^2 = \frac{25}{4}$ , $y^2 + yz + z^2 = 36$ y $z^2 + zx + x^2 = \frac{169}{4}$ . Halle el valor de $xy + yz + zx$ .

5 Se da un número real $\alpha \geq 0$. Halle el menor $\lambda = \lambda (\alpha ) > 0$, tal que para cualesquiera números complejos ${z_1},{z_2}$ y $0 \leq x \leq 1$, si $\left| {{z_1}} \right| \leq \alpha \left| {{z_1} - {z_2}} \right|$, entonces $\left| {{z_1} - x{z_2}} \right| \leq \lambda \left| {{z_1} - {z_2}} \right|$.

4 Hay una piedra en cada vértice de un $13$ -ágono regular dado, y el color de cada piedra es negro o blanco. Demuestre que podemos intercambiar la posición de dos piedras de modo que la coloración de estas piedras sea simétrica con respecto a algún eje de simetría del $13$ -ágono.