2 Sea $x$ un número natural. Llamamos $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ una cadena de factores de $x$ si la sucesión $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ satisface las siguientes condiciones: (1) $x_0=1, x_l=x$ ; (2) $x_{i-1}<x_i, x_{i-1}|x_i, i=1,2,\dots,l$ . Asimismo, definimos $l$ como la longitud de la cadena de factores $\{x_0,x_1,\dots ,x_l\}$ . Denotemos por $L(x)$ y $R(x)$ la longitud y el número de la cadena de factores más larga de $x$ respectivamente. Para $x=5^k\times 31^m\times 1990^n$ , donde $k,m,n$ son números naturales, halle el valor de $L(x)$ y $R(x)$ .

3 Una función $f(x)$ definida para $x\ge 0$ satisface las siguientes condiciones: i. para $x,y\ge 0$ , $f(x)f(y)\le x^2f(y/2)+y^2f(x/2)$ ; ii. existe una constante $M$ ( $M>0$ ) tal que $|f(x)|\le M$ cuando $0\le x\le 1$ . Demuestre que $f(x)\le x^2$ .

4 Dados un número entero positivo $a$ y dos números reales $A$ y $B$ , halle una condición necesaria y suficiente sobre $A$ y $B$ para que el siguiente sistema de ecuaciones tenga solución entera: \[ \left\{\begin{array}{cc} x^2+y^2+z^2=(Ba)^2\\ x^2(Ax^2+By^2)+y^2(Ay^2+Bz^2)+z^2(Az^2+Bx^2)=\dfrac{1}{4}(2A+B)(Ba)^4\end{array}\right. \]

5 Dado un conjunto finito $X$ , sea $f$ una regla tal que $f$ asigna a todo subconjunto de cardinal par $E$ de $X$ (es decir, $E \subseteq X$ , $|E|$ es par) un número real $f(E)$ . Suponga que $f$ satisface las siguientes condiciones: (I) existe un subconjunto de cardinal par $D$ de $X$ tal que $f(D)>1990$ ; (II) para cualesquiera dos subconjuntos disjuntos de cardinal par $A,B$ de $X$ , se cumple la ecuación $f(A\cup B)=f(A)+f(B)-1990$ . Demuestre que existen dos subconjuntos $P,Q$ de $X$ que satisfacen: (1) $P\cap Q=\emptyset$ , $P\cup Q=X$ ; (2) para cualquier subconjunto de cardinal impar $S$ de $P$ (es decir, $S\subseteq P$ , $|S|$ es impar), se tiene $f(S)>1990$ ; (3) para cualquier subconjunto de cardinal par $T$ de $Q$ , se tiene $f(T)\le 1990$ .

6 Un $n$ -ágono convexo y sus $n-3$ diagonales que no tienen ningún punto común en el interior del polígono forman un grafo de subdivisión . Demuestre que si y solo si $3|n$ , existe un grafo de subdivisión que puede dibujarse de un solo trazo cerrado. (Es decir, partiendo de cierto vértice, recorrer todas las aristas y diagonales exactamente una vez y finalmente volver al vértice inicial.)

1 Se nos dan dos conjuntos de puntos $A$ y $B$ compuestos ambos por arcos disjuntos finitos sobre la circunferencia unitaria. Además, la longitud de cada arco de $B$ es igual a $\dfrac{\pi}{m}$ ( $m \in \mathbb{N}$ ) . Denotamos por $A^j$ el conjunto obtenido al rotar $A$ en sentido antihorario alrededor del centro de la circunferencia unitaria un ángulo de $\dfrac{j\pi}{m}$ ( $j=1,2,3,\dots$ ) . Demuestre que existe un número natural $k$ tal que $l(A^k\cap B)\ge \dfrac{1}{2\pi}l(A)l(B)$ . (Aquí $l(X)$ denota la suma de las longitudes de todos los arcos disjuntos del conjunto de puntos $X$ )

2010.3.2 Dado un hexágono cíclico $ABCDEF$, en el cual $AD$ es un diámetro de su circunferencia circunscrita, y las rectas $BF$ y $CE$ son paralelas. Sea $K$ la intersección de los segmentos $AC$ y $BD$, $L$ la intersección de los segmentos $AE$ y $DF$, y $M$ el punto medio del segmento $KL$. Demuestra que $|MC| = |ME|$.

3 Sea $S$ la circunferencia unitaria en el plano complejo (es decir, el conjunto de todos los números complejos cuyo módulo es igual a $1$ ) . Definimos la función $f:S\rightarrow S$ de la siguiente manera: $\forall z\in S$ , $ f^{(1)}(z)=f(z), f^{(2)}(z)=f(f(z)), \dots,$ $f^{(k)}(z)=f(f^{(k-1)}(z)) (k>1,k\in \mathbb{N}), \dots$ Llamamos a $c$ un punto periódico de período $n$ de $f$ si $c$ ( $c\in S$ ) y $n$ ( $n\in\mathbb{N}$ ) satisfacen: $f^{(1)}(c) \not=c, f^{(2)}(c) \not=c, f^{(3)}(c) \not=c, \dots, f^{(n-1)}(c) \not=c, f^{(n)}(c)=c$ . Suponga que $f(z)=z^m$ ( $z\in S; m>1, m\in \mathbb{N}$ ) ; halle el número de puntos periódicos de período $1989$ de $f$ .

4 Dado un triángulo $ABC$ , los puntos $D,E,F$ están sobre los lados $BC,CA,AB$ respectivamente. Además, los radios de las circunferencias inscritas de $\triangle AEF, \triangle BFD, \triangle CDE$ son iguales a $r$ . Denotemos por $r_0$ y $R$ los radios de las circunferencias inscritas de $\triangle DEF$ y $\triangle ABC$ respectivamente. Demuestre que $r+r_0=R$ .

5 Dados $1989$ puntos en el espacio, de los cuales cualesquiera tres no son colineales. Dividimos estos puntos en $30$ grupos tales que los números de puntos de estos grupos son distintos entre sí. Considere aquellos triángulos cuyos vértices son puntos que pertenecen a tres grupos diferentes entre los $30$ . Determine los números de puntos de cada grupo para que el número de tales triángulos alcance un máximo.