2 Las longitudes de las dos bisectrices de un triángulo isósceles son $\sqrt{1-2^{-2004}}$ y $2-2^{-2004}$ . Halle la longitud de la tercera bisectriz.

3 Tres de los ángulos de un heptágono convexo inscrito en una circunferencia son iguales a $120^o$ . Demuestre que al menos dos de sus lados tienen longitudes iguales.

1 En cada casilla de una tabla cuadrada $n\times n$ se escribe $1$ o $-1$ . Sea $a_i$ el producto de los números de la $i$ -ésima fila, y $b_j$ el producto de los números de la $j$ -ésima columna. ¿Es posible llenar la tabla de tal manera que la suma $$a_1 +a_2 +...+a_i+ ...+a_n+b_1+b_2+...+b_j+...+b_n$$ sea igual a cero cuando a) $n =10$ ? b) $n =9$ ?

4 Un tablero rectangular $6\times 9$ está formado por $54$ casillas iguales, en cada una de las cuales se puede colocar una ficha. a) ¿Es posible colocar las fichas de tal manera que el número de fichas en cualesquiera dos cuadrados $4\times 4$ sea diferente? b) ¿Es posible colocar las fichas de tal manera que el número de fichas en cualesquiera dos cuadrados $5\times 5$ sea diferente?

2 Sea $G$ el baricentro de un triángulo $\triangle ABC$ y sean $AG, BG, CG$ las rectas que cortan a su circunferencia circunscrita en $P, Q, R$ respectivamente. Sean $AD, BE, CF$ las alturas del triángulo. Demuestre que el centro radical de las circunferencias $(DQR),(EPR),(FPQ)$ se encuentra sobre la recta de Euler de $\triangle ABC$ . Propuesto por Ivan Chai, Malasia.

6 A los vértices del cubo se les asignan $1, 2, 3..., 8$ y luego a cada arista le asignamos el producto de los números asignados a sus dos puntos extremos. Determine el mayor valor posible de la suma de los números asignados a las doce aristas del cubo.

Una sucesión de números reales $a_1,a_2,\ldots$ satisface la relación $$a_n=-\max_{i+j=n}(a_i+a_j)\qquad\text{for all}\quad n>2017.$$ Demuestre que la sucesión es acotada, es decir, existe una constante $M$ tal que $|a_n|\leq M$ para todo entero positivo $n$ .

Sea $ABCD$ un cuadrado, $O$ su centro, y $M$ el punto medio de $AB$ . Sea $E\ne O$ la segunda intersección de la recta $OA$ con la circunferencia que pasa por $M,O,D$ . Sea $F$ la intersección de la recta $EM$ con la recta que pasa por $O$ paralela a $AB$ . Demuestre que $C,D,E,F$ son concíclicos.

1 Alice crea una sucesión: Para los primeros $2025$ términos de esta sucesión, escribe una permutación aleatoria de $\{1;2;3;...;2025\}$ . Para definir los términos siguientes, hace lo siguiente: Toma los últimos $2025$ términos de la sucesión y toma su mediana. ¿Cuántos valores podría tomar el término $3000$ -ésimo de esta sucesión? (Nota: Para hallar la mediana de $2025$ números, se escriben en orden creciente y se toma el número del medio)

2 Halle todos los reales positivos $x,y,z$ que satisfacen las siguientes ecuaciones: $$y=\frac6{(2x-1)^2}$$ $$z=\frac6{(2y-1)^2}$$ $$x=\frac6{(2z-1)^2}$$