1 Se dan dos circunferencias concéntricas $\omega, \Omega$ con radios $8,13$ . $AB$ es un diámetro de $\Omega$ y la tangente desde $B$ a $\omega$ toca a $\omega$ en $D$ . ¿Cuál es la longitud de $AD$ ?

2 Llame admisible a un conjunto $A$ de enteros que tiene la siguiente propiedad: si $x,y \in A$ (posiblemente $x=y$ ), entonces $x^2+kxy+y^2 \in A$ para todo entero $k$ . Determine todos los pares $m,n$ de enteros no nulos tales que el único conjunto admisible que contiene tanto a $m$ como a $n$ es el conjunto de todos los enteros. Propuesto por Warut Suksompong, Tailandia

3 Sea $n \geq 1$ un entero. ¿Cuál es el número máximo de pares disjuntos de elementos del conjunto $\{ 1,2,\ldots , n \}$ tales que las sumas de los distintos pares sean enteros distintos que no excedan $n$ ?

1 Halle el menor entero $k$ tal que, para cualquier tabla de $2011 \times 2011$ llena con enteros que Kain elija, Abel pueda cambiar a lo sumo $k$ casillas para obtener una nueva tabla en la cual las $4022$ sumas de filas y columnas sean dos a dos distintas.

2 Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita del triángulo isósceles $ABC$ con vértice $C$ . Se elige un punto arbitrario $M$ sobre el segmento $BC$ y el punto $N$ se encuentra sobre el rayo $AM$ con $M$ entre $A,N$ tal que $AN=AC$ . La circunferencia circunscrita de $CMN$ corta a $\Gamma$ en $P$ distinto de $C$ y $AB,CP$ se intersecan en $Q$ . Demuestre que $\angle BMQ = \angle QMN.$

3 Sean $a,b,c$ números reales positivos con $a^2+b^2+c^2 \geq 3$ . Demuestre que: $$\frac{(a+1)(b+2)}{(b+1)(b+5)}+\frac{(b+1)(c+2)}{(c+1)(c+5)}+\frac{(c+1)(a+2)}{(a+1)(a+5)} \geq \frac{3}{2}.$$

2 Hay $n$ puntos en el plano tales que no hay tres colineales. Demuestre que el número de triángulos cuyos vértices se eligen entre estos $n$ puntos y cuya área es 1 no es mayor que $\frac23(n^2-n)$ . Amir

1 Considere un polinomio $P(x) = \prod^9_{j=1}(x+d_j),$ donde $d_1, d_2, \ldots d_9$ son nueve enteros distintos. Demuestre que existe un entero $N,$ tal que para todos los enteros $x \geq N$ el número $P(x)$ es divisible por un número primo mayor que 20. Propuesto por Luxemburgo

Se dan 3 números reales positivos $a_1, \dots, a_k, b_1, \dots, b_k$. Sea $A = \sum_{i = 1}^k a_i, B = \sum_{i = 1}^k b_i$. Demuestra la desigualdad \[ \left( \sum_{i = 1}^k \frac{a_i b_i}{a_i B + b_i A} - 1 \right)^2 \ge \sum_{i = 1}^k \frac{a_i^2}{a_i B + b_i A} \cdot \sum_{i = 1}^k \frac{b_i^2}{a_i B + b_i A}. \]

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $\omega$ una circunferencia cuyo centro $L$ se encuentra sobre el lado $BC$ . Suponga que $\omega$ es tangente a $AB$ en $B'$ y a $AC$ en $C'$ . Suponga también que el circuncentro $O$ del triángulo $ABC$ se encuentra sobre el arco menor $B'C'$ de $\omega$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita de $ABC$ y $\omega$ se cortan en dos puntos. Propuesto por Härmel Nestra, Estonia