4 Demuestra que para todo entero positivo $t$ existe una única permutación $a_0, a_1, \ldots , a_{t-1}$ de $0, 1, \ldots , t-1$ tal que, para cada $0 \leq i \leq t-1$, el coeficiente binomial $\binom{t+i}{2a_i}$ es impar y $2a_i \neq t+i$.

La recta $\ell$ interseca los lados $BC$ y $AD$ del cuadrilátero cíclico $ABCD$ en sus puntos interiores $R$ y $S$, respectivamente, y corta al rayo $DC$ más allá del punto $C$ en $Q$, y al rayo $BA$ más allá del punto $A$ en $P$. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $QCR$ y $QDS$ se intersecan en $N \neq Q$, mientras que las circunferencias circunscritas de los triángulos $PAS$ y $PBR$ se intersecan en $M \neq P$. Sean las rectas $MP$ y $NQ$ que se encuentran en el punto $X$, las rectas $AB$ y $CD$ que se encuentran en el punto $K$, y las rectas $BC$ y $AD$ que se encuentran en el punto $L$. Demuestra que el punto $X$ está sobre la recta $KL$.

6 Para cada entero positivo fijo $n$, con $n\geq 4$, y $P$ un entero, sea $(P)_n \in [1, n]$ el residuo positivo más pequeño de $P$ módulo $n$. Dos sucesiones $a_1, a_2, \dots, a_k$ y $b_1, b_2, \dots, b_k$ con términos en $[1, n]$ se definen como equivalentes si existe un entero positivo $t$, con $\gcd(t,n)=1$, tal que la sucesión $(ta_1)_n, \dots, (ta_k)_n$ es una permutación de $b_1, b_2, \dots, b_k$. Sea $\alpha$ una sucesión de tamaño $n$ cuyos términos están en $[1, n]$, tal que cada término aparece $h$ veces en la sucesión $\alpha$ y $2h\geq n$. Demuestra que $\alpha$ es equivalente a alguna sucesión $\beta$ que contiene una subsucesión cuyo tamaño es a lo sumo $h$ y cuya suma es exactamente igual a $n$.

Sea $I$ el incentro de $\triangle ABC$ y sea $P$ un punto tal que $PI$ es perpendicular a $BC$ y $PA$ es paralela a $BC$ . Sea la recta paralela a $BC$ que es tangente a la circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ , e interseca a $AB$ y a $AC$ en los puntos $Q$ y $R$ respectivamente. Demuestre que $\angle BPQ = \angle CPR$ .

1 Resuelve en enteros positivos la ecuación \[ n = \varphi(n) + 402 , \] donde $ \varphi(n)$ es el número de enteros positivos menores que $ n$ que no tienen factores primos comunes con $ n$ .

Sea $k$ un entero positivo. Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $\frac{n^n-1}{n-1}$ tiene al menos $k$ divisores primos distintos. Propuesto por Adnan Sadik

2 Sea $ABC$ un triángulo y $K$ y $L$ dos puntos sobre $(AB)$, $(AC)$ tales que $BK = CL$ y sea $P = CK \cap BL$. Sea la paralela por $P$ a la bisectriz interior del ángulo $\angle BAC$ que corta a $AC$ en $M$. Demuestra que $CM = AB$. Valentin

2 Halle todas las soluciones reales de $\sqrt{x-1}+\sqrt{x^2-1}=\sqrt{x^3}$

Sea $ABC$ un triángulo y sea $M$ el punto medio del lado $BC$ . La mediatriz de $BC$ interseca la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en los puntos $K$ y $L$ ( $K$ y $A$ se encuentran en lados opuestos de $BC$ ) . Un círculo que pasa por $L$ y $M$ interseca a $AK$ en los puntos $P$ y $Q$ ( $P$ se encuentra sobre el segmento $AQ$ ) . $LQ$ interseca de nuevo la circunferencia circunscrita de $\triangle KMQ$ en $R$ . Demuestre que $BPCR$ es un cuadrilátero cíclico.

1 Un entero \( n > 1 \) se llama *bueno* si existe una permutación \( a_1, a_2, a_3, \dots, a_n \) de los números \( 1, 2, 3, \dots, n \), tal que: \((i)\) \( a_i \) y \( a_{i+1} \) tienen paridades distintas para todo \( 1 \leq i \leq n-1 \); \((ii)\) la suma \( a_1 + a_2 + \cdots + a_k \) es un residuo cuadrático módulo \( n \) para todo \( 1 \leq k \leq n \). Demuestra que existen infinitos números buenos, así como infinitos enteros positivos que no son buenos.