1 Sea $n$ un número natural compuesto. Para cada divisor propio $d$ de $n$ escribimos el número $d + 1$ en la pizarra. Determine todos los números naturales $n$ para los cuales los números escritos en la pizarra son todos los divisores propios de un número natural $m$ . (Los divisores propios de un número natural $a> 1$ son los divisores positivos de $a$ distintos de $1$ y de $a$ . )

2 Sea $ABCD$ un cuadrado inscrito en la circunferencia $K$ . Sea $P$ un punto sobre el arco menor $CD$ de la circunferencia $K$ . La recta $PB$ interseca a $AC$ en $E$ . La recta $PA$ interseca a $DB$ en $F$ . La circunferencia circunscrita al triángulo $PEF$ interseca por segunda vez a $K$ en $Q$ . Demuestre que $PQ$ es paralela a $CD$ .

3 Demuestre que en todo triángulo hay dos lados con longitudes $x$ e $y$ tales que $$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\leq\frac{x}{y}\leq\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

4 Sea $n> 2$ un número natural. Consideramos $n$ bolsas de dulces, cada una conteniendo exactamente un dulce. Ali y Omar juegan el siguiente juego, en el que se mueven alternadamente (Ali mueve primero): En cada movimiento, el jugador al que le toca mover elige dos bolsas que contienen $x$ e $y$ dulces, respectivamente, con $(x,y)=1$ , y pone los $x + y$ dulces en una bolsa (él elige dónde). El jugador que no puede mover pierde. ¿Cuál de los dos jugadores tiene una estrategia para ganar este juego?

1 Sean $a,b,c>0$ y $abc=1$ . Demuestre que $$ \sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\ge 1+a+b+c.$$

4 Determina todos los enteros \(m\) para los cuales es posible diseccionar el cuadrado \(m\times m\) en cinco rectángulos, cuyas longitudes de los lados sean los enteros \(1, 2, \ldots, 10\) en algún orden.

3 Sobre la mesa hay $1024$ canicas y dos estudiantes, $A$ y $B$ , que alternadamente toman un número positivo de canicas. El estudiante $A$ juega primero, luego $B$ , y así sucesivamente. En el primer movimiento, $A$ toma $k$ canicas con $1 < k < 1024$ . En los movimientos posteriores, $A$ y $B$ no pueden tomar más de $k$ canicas ni $0$ canicas. El estudiante que toma la(s) última(s) canica(s) de la mesa gana. Halle todos los valores de $k$ que el estudiante $A$ debe elegir para asegurar que existe una estrategia para que él gane el juego.

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, no isósceles, y sea $(O)$ su circunferencia circunscrita (con centro $O$ ) . Denote por $G$ el baricentro del triángulo $ABC$ , por $H$ el pie de la altura desde $A$ sobre el lado $BC$ y por $I$ el punto medio de $AH$ . La recta $IG$ interseca a $BC$ en $K$ . 1. Demuestre que $CK = BH$ . 2. El rayo $(GH$ interseca a $(O)$ en L. Denote por $T$ el circuncentro del triángulo $BHL$ . Demuestre que $AO$ y $BT$ se intersecan sobre la circunferencia $(O)$ .

1 Se da un polinomio $f(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx$ . Se sabe que cada una de las ecuaciones $f(x) = 1$ y $f(x) = 2$ tiene cuatro raíces reales (no necesariamente distintas). Demuestre que si las raíces de la primera ecuación satisfacen la igualdad $x_1 + x_2 = x_3 + x_4$ , entonces la misma igualdad se cumple para las raíces de la segunda ecuación

2 Un entero positivo $k > 1$ se llama agradable si para cualquier par $(m, n)$ de enteros positivos que satisfacen la condición $kn + m | km + n$ tenemos que $n | m$ . 1. Demuestre que $5$ es un número agradable. 2. Halle todos los números agradables.