Las bisectrices externas de los ángulos del cuadrilátero convexo $ABCD$ se intersecan en $E,F,G$ y $H$ tal que $A\in EH, \ B\in EF, \ C\in FG, \ D\in GH$ . Sabemos que las perpendiculares desde $E$ a $AB$ , desde $F$ a $BC$ y desde $G$ a $CD$ son concurrentes. Pruebe que $ABCD$ es cíclico.

Para cualquier entero positivo $n>1$ , sea $p(n)$ el mayor factor primo de $n$ . Encuentre todas las tripletas de enteros positivos distintos $(x,y,z)$ que satisfacen las siguientes propiedades: $x,y$ y $z$ forman una progresión aritmética, y $p(xyz)\leq 3.$

Sea $k>1$ un entero positivo. Un conjunto $S{}$ se llama bueno si existe una coloración de los enteros positivos con $k{}$ colores, tal que ningún elemento de $S{}$ pueda escribirse como la suma de dos enteros positivos distintos que tengan el mismo color. Encuentre el mayor entero positivo $t{}$ (en términos de $k{}$ ) para el cual el conjunto \[S=\{a+1,a+2,\ldots,a+t\}\] es bueno, para cualquier entero positivo $a{}$ .

Llamamos a un número real $x$ con $0 < x < 1$ interesante si $x$ es irracional y si en su escritura decimal los primeros cuatro decimales son iguales. Determine el menor entero positivo $n$ con la propiedad de que todo número real $t$ con $0 < t < 1$ puede escribirse como la suma de $n$ números interesantes distintos por parejas.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $A = 90^{\circ}$ y $D \in (AC)$ . Denote por $E$ la reflexión de $A$ en la línea $BD$ y $F$ el punto de intersección de $CE$ con la perpendicular en $D$ a $BC$ . Demuestre que $AF, DE$ y $BC$ son concurrentes.

Se dan los enteros $1 \le m < n$ . Considere el conjunto $M = \{ (x,y);x,y \in \mathbb{Z_{+}}, 1 \le x,y \le n \}$ . Determine el valor mínimo $v(m,n)$ con la propiedad de que para cada subconjunto $P \subseteq M$ con $|P| = v(m,n)$ existen $m+1$ elementos $A_{i}= (x_{i},y_{i}) \in P, i = 1,2,...,m+1$ , para los cuales los $x_{i}$ son todos distintos, y los $y_{i}$ también son todos distintos.

Considere un tablero de 8x8 dividido en 64 cuadrados unitarios. Llamamos diagonal en este tablero a un conjunto de 8 cuadrados con la propiedad de que en cada una de las filas y las columnas del tablero hay exactamente un cuadrado de la diagonal . Algunos de los cuadrados de este tablero están coloreados de tal manera que en cada diagonal hay exactamente dos cuadrados coloreados. Demuestre que existen dos filas o dos columnas cuyos cuadrados están todos coloreados.

Llamamos a un conjunto de puntos libre si no hay un triángulo equilátero con los vértices entre los puntos del conjunto. Demuestre que cada conjunto de $n$ puntos en el plano contiene un subconjunto libre con al menos $\sqrt{n}$ elementos.

En una fiesta hay ocho invitados, y cada participante no puede hablar con como máximo tres personas. Demuestre que podemos agrupar a las personas en cuatro parejas de tal manera que en cada pareja pueda tener lugar una conversación.

Sean $x, y, z \ge 0$ números reales. Demuestre que: \[\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{3}\ge xyz+\frac{3}{4}|(x-y)(y-z)(z-x)| .\] Tarea adicional Encuentre la constante real máxima $\alpha$ que puede reemplazar $\frac{3}{4}$ tal que la desigualdad siga siendo cierta para cualquier $x,y,z$ no negativos .