Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados respectivos $AB$ y $AC$ de un triángulo acutángulo $ABC$ . Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $N$ sobre $BC$ y sea $A_1$ el punto medio de $MP$ . Los puntos $B_1$ y $C_1$ se obtienen de manera similar. Si $AA_1$ , $BB_1$ y $CC_1$ son concurrentes, demostrar que el triángulo $ABC$ es isósceles.

La secuencia $ (a_n)$ se define por: $ a_0=a_1=1$ y $ a_{n+1}=14a_n-a_{n-1}$ para todo $ n\ge 1$ . Demostrar que $ 2a_n-1$ es un cuadrado perfecto para cualquier $ n\ge 0$ .

Encontrar todos los conjuntos $A$ y $B$ que satisfacen las siguientes condiciones:\na) $A \cup B= \mathbb{Z}$ ;\nb) si $x \in A$ entonces $x-1 \in B$ ;\nc) si $x,y \in B$ entonces $x+y \in A$ .

Sea $\alpha$ un número real en el intervalo $(0,1).$ Pruebe que existe una secuencia $(\varepsilon_n)_{n\geq 1}$ donde cada término es $0$ o $1$ tal que la secuencia $(s_n)_{n\geq 1}$ \[s_n=\frac{\varepsilon_1}{n(n+1)}+\frac{\varepsilon_2}{(n+1)(n+2)}+...+\frac{\varepsilon_n}{(2n-1)2n}\] verifica la desigualdad \[0\leq \alpha-2ns_n\leq\frac{2}{n+1}\] para cualquier $n\geq 2.$

Sea $N\geq 4$ un entero positivo fijo. Dos jugadores, $A$ y $B$ están formando un conjunto ordenado $\{x_1,x_2,...\},$ agregando elementos alternativamente. $A$ elige $x_1$ para que sea $1$ o $-1,$ luego $B$ elige $x_2$ para que sea $2$ o $-2,$ luego $A$ elige $x_3$ para que sea $3$ o $-3,$ y así sucesivamente. (en el paso $k^{th}$, el número elegido siempre debe ser $k$ o $-k$ ) El ganador es el primer jugador en hacer que la suma de la secuencia sea un múltiplo de $N.$ Dependiendo de $N,$ averigüe, con prueba, qué jugador tiene una estrategia ganadora.

Considere un triángulo fijo $ABC$ tal que $AB=AC.$ Sea $M$ el punto medio de $BC.$ Sea $P$ un punto variable dentro del $\triangle ABC,$ tal que $\angle PBC=\angle PCA.$ Pruebe que la suma de las medidas de $\angle BPM$ y $\angle APC$ es constante.

Sea $\mathcal{P}$ un cuadrilátero convexo. Considere un punto $X$ dentro de $\mathcal{P}.$ Sean $M,N,P,Q$ las proyecciones de $X$ sobre los lados de $\mathcal{P}.$ Sabemos que $M,N,P,Q$ están todos en un círculo de centro $L.$ Sean $J$ y $K$ los puntos medios de las diagonales de $\mathcal{P}.$ Pruebe que $J,K$ y $L$ están en una línea.

Considere el conjunto $M=\{1,2,3,...,2020\}.$ Encuentre el entero positivo más pequeño $k$ tal que para cualquier subconjunto $A$ de $M$ con $k$ elementos, existen $3$ números distintos $a,b,c$ de $M$ tales que $a+b, b+c$ y $c+a$ están todos en $A.$

Encuentre todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos impares, tales que $n \mid 3m+1$ y $m \mid n^2+3$ .

Determine todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen la siguiente relación para todos los números reales $x$ e $y$ \[f(xf(y)-f(x))=2f(x)+xy.\]