Sea $(a_n)_{n\ge 1}$ una sucesión de enteros positivos definida como $a_1,a_2>0$ y $a_{n+1}$ es el menor divisor primo de $a_{n-1}+a_{n}$ , para todo $n\ge 2$ . Demostrar que un número real $x$ cuyos decimales son dígitos de los números $a_1,a_2,\ldots a_n,\ldots $ escritos en orden, es un número racional.

Sea $f:\mathbb{Z}\rightarrow\{ 1,2,\ldots ,n\}$ una función tal que $f(x)\not= f(y)$ , para todo $x,y\in\mathbb{Z}$ tal que $|x-y|\in\{2,3,5\}$ . Demostrar que $n\ge 4$ .

Sea $n$ un entero positivo. $S$ es el conjunto de enteros no negativos $a$ tales que $1<a<n$ y $a^{a-1}-1$ es divisible por $n$ . Demostrar que si $S=\{ n-1 \}$ entonces $n=2p$ donde $p$ es un número primo.

Sea $n\geq 4$ un entero, y sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales positivos tales que \[ a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2=1 . \] Probar que la siguiente desigualdad se cumple \[ \frac{a_1}{a_2^2+1}+\cdots +\frac{a_n}{a_1^2+1} \geq \frac{4}{5}\left( a_1 \sqrt{a_1}+\cdots +a_n \sqrt{a_n} \right)^2 . \]

Sea $ABCDE$ un pentágono cíclico inscrito en un círculo de centro $O$ que tiene ángulos $\angle B=120^{\circ},\angle C=120^{\circ},$ $\angle D=130^{\circ},\angle E=100^{\circ}$ . Demostrar que las diagonales $BD$ y $CE$ se encuentran en un punto perteneciente al diámetro $AO$ .

En una conferencia internacional hay cuatro idiomas oficiales. Dos participantes cualesquiera pueden hablar en uno de estos idiomas. Demostrar que al menos $60\%$ de los participantes pueden hablar el mismo idioma.

Sean $a,b$ números reales positivos. Para cualquier entero positivo $n$ , denotamos por $x_n$ la suma de los dígitos del número $[an+b]$ en su representación decimal. Demostrar que la secuencia $(x_n)_{n\ge 1}$ contiene una subsecuencia constante.

Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios enteros de grado $p$ y $q$ respectivamente. Asumir que $P(x)$ divide a $Q(x)$ y todos sus coeficientes son $1$ o $2002$ . Demostrar que $p+1$ es un divisor de $q+1$ .

Sea $ABCD$ un cuadrado unitario. Para cualquier punto interior $M,N$ tal que la línea $MN$ no contiene un vértice del cuadrado, denotamos por $s(M,N)$ el área más pequeña de los triángulos que tienen sus vértices en el conjunto de puntos $\{ A,B,C,D,M,N\}$ . Encontrar el número más pequeño $k$ tal que $s(M,N)\le k$ , para todos los puntos $M,N$ .

Para cualquier entero positivo $n$ , sea $f(n)$ el número de posibles elecciones de signos $+\text{o}\ - $ en la expresión algebraica $\pm 1\pm 2\ldots \pm n$ , tal que la suma obtenida sea cero. Demostrar que $f(n)$ satisface las siguientes condiciones:\na) $f(n)=0$ para $n=1\pmod{4}$ o $n=2\pmod{4}$ .\nb) $2^{\frac{n}{2}-1}\le f(n)\le 2^n-2^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1}$ , para $n=0\pmod{4}$ o $n=3\pmod{4}$ .