En el triángulo acutángulo $ABC$ , con $AB \ne AC$ , $D$ es el pie de la bisectriz del ángulo $A$ , y $E, F$ son los pies de las alturas desde $B$ y $C$ , respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $DBF$ y $DCE$ se intersecan por segunda vez en $M$ . Demuestra que $ME = MF$ .

Considera un círculo centrado en $O$ con radio $r$ y una línea $\ell$ que no pasa por $O$ . Un saltamontes salta de un lado a otro entre los puntos del círculo y la línea, la longitud de cada salto es $r$ . Demuestra que hay como máximo $8$ puntos a los que puede llegar el saltamontes.

Pesos de $1$ g, $2$ g , $ ...$ , $200$ g se colocan en los dos platillos de una balanza de tal manera que en cada platillo haya $100$ pesos y la balanza esté en equilibrio. Demuestra que se pueden intercambiar $50$ pesos de un platillo con $50$ pesos del otro platillo de tal manera que la balanza permanezca en equilibrio.

Sean $a, b, c, d > 0$ que satisfacen $abcd = 1$ . Demuestra que $$\frac{1}{a + b + 2}+\frac{1}{b + c + 2}+\frac{1}{c + d + 2}+\frac{1}{d + a + 2} \le 1$$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean $P$ y $Q$ puntos variables dentro de este cuadrilátero de modo que $\angle APB=\angle CPD=\angle AQB=\angle CQD$. Demuestre que las líneas $PQ$ obtenidas de esta manera pasan todas por un punto fijo, o son todas paralelas.

Fije un entero $n \ge 2$ y sea $A$ un arreglo de $n\times n$ con $n$ celdas cortadas de modo que exactamente una celda se elimine de cada fila y cada columna. Un palo es un subarreglo de $1\times k$ o $k\times 1$ de $A$, donde $k$ es un entero positivo adecuado.\n(a) Determine el número mínimo de palos en los que se puede diseccionar $A$.\n(b) Demuestre que el número de formas de diseccionar $A$ en un número mínimo de palos no excede $100^n$.

Sea $ABCD$ un trapecio, $AD\parallel BC$, y sean $E,F$ puntos en los lados $AB$ y $CD$, respectivamente. La circunferencia circunscrita de $AEF$ se encuentra con $AD$ de nuevo en $A_1$, y la circunferencia circunscrita de $CEF$ se encuentra con $BC$ de nuevo en $C_1$. Demuestre que $A_1C_1,BD,EF$ son concurrentes.

Sean $x, y$ y $k$ tres enteros positivos. Demuestre que existe un entero positivo $N$ y un conjunto de $k + 1$ enteros positivos $\{b_0,b_1, b_2, ... ,b_k\}$, tal que, para cada $i = 0, 1, ... , k$, la expansión $b_i$ - aria de $N$ es un palíndromo de $3$ dígitos, y la expansión $b_0$ - aria es exactamente $\overline{\mbox{xyx}}$.

Sea $ABCD$ un trapecio, $AD\parallel BC$, y sean $E,F$ puntos en los lados $AB$ y $CD$, respectivamente. La circunferencia circunscrita de $AEF$ se encuentra con $AD$ de nuevo en $A_1$, y la circunferencia circunscrita de $CEF$ se encuentra con $BC$ de nuevo en $C_1$. Demuestre que $A_1C_1,BD,EF$ son concurrentes.

Para cada entero positivo $k$, sea $S(k)$ la suma de los dígitos de $k$ en el sistema decimal. Demuestre que existe un entero $k$, sin ningún $9$ en su representación decimal, tal que: $$S(2^{24^{2017}}k)=S(k)$$