Dado un entero positivo $n$ , determine el número real más grande $\mu$ que satisface la siguiente condición: para cada conjunto $C$ de $4n$ puntos en el interior del cuadrado unitario $U$ , existe un rectángulo $T$ contenido en $U$ tal que\n$\bullet$ los lados de $T$ son paralelos a los lados de $U$ ;\n$\bullet$ el interior de $T$ contiene exactamente un punto de $C$ ;\n$\bullet$ el área de $T$ es al menos $\mu$ .

Sea $p \ge 5$ un número primo. Para un entero positivo $k$ , sea $R(k)$ el resto cuando $k$ se divide por $p$ , con $0 \le R(k) \le p-1$ . Determine todos los enteros positivos $a < p$ tales que, para cada $m = 1, 2, \cdots, p-1$ , $$ m + R(ma) > a. $$

Sea $ABC$ un triángulo, y sea $D$ el punto donde la circunferencia inscrita se encuentra con el lado $BC$ . Sean $J_b$ y $J_c$ los incentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ , respectivamente. Demuestre que el circuncentro del triángulo $AJ_bJ_c$ se encuentra en la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ .

Una lista finita de números racionales está escrita en una pizarra. En una operación, elegimos dos números $a$ , $b$ , los borramos y escribimos uno de los números\n\[\n\t a + b, \; a - b, \; b - a, \; a \times b, \; a/b \text{ (si $b \neq 0$)}, \; b/a \text{ (si $a \neq 0$)}.\n\]\nDemuestre que, para cada entero $n > 100$ , solo hay finitamente muchos enteros $k \ge 0$ , tales que, comenzando desde la lista\n\[ k + 1, \; k + 2, \; \dots, \; k + n, \]\nes posible obtener, después de $n - 1$ operaciones, el valor $n!$

Para un entero $n \geq 5,$ dos jugadores juegan el siguiente juego en un $n$ - gono regular. Inicialmente, se eligen tres vértices consecutivos, y se coloca un contador en cada uno. Un movimiento consiste en que un jugador deslice un contador a lo largo de cualquier número de aristas a otro vértice del $n$ - gono sin saltar sobre otro contador. Un movimiento es legal si el área del triángulo formado por los contadores es estrictamente mayor después del movimiento que antes. Los jugadores se turnan para hacer movimientos legales, y si un jugador no puede hacer un movimiento legal, ese jugador pierde. ¿Para qué valores de $n$ el jugador que hace el primer movimiento tiene una estrategia ganadora?

¿Existe una secuencia infinita de enteros positivos $a_1, a_2, a_3, . . .$ tal que $a_m$ y $a_n$ son coprimos si y solo si $|m - n| = 1$ ?

Sea $n$ un entero positivo con $d^2$ divisores positivos. Llenamos un tablero de $d\times d$ con estos divisores. En un movimiento, podemos elegir una fila y cambiar el divisor de la $i^{\text{th}}$ columna a la $(i+1)^{\text{th}}$ columna, para todo $i=1,2,\ldots, d$ (índices reducidos módulo $d$ ) . Una configuración del tablero de $d\times d$ se llama factible si existe una columna con elementos $a_1,a_2,\ldots,a_d,$ en este orden, tal que $a_1\mid a_2\mid\ldots\mid a_d$ o $a_d\mid a_{d-1}\mid\ldots\mid a_1.$ Determine todos los valores de $n$ para los cuales, independientemente de cómo llenemos inicialmente el tablero, podemos alcanzar una configuración factible después de un número finito de movimientos.

Determine todos los pares de enteros positivos $(a,b)$ tales que la siguiente fracción sea un entero: \[\frac{(a+b)^2}{4+4a(a-b)^2}.\]

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo. Sea $D$ el pie de la bisectriz de $A$ y $E$ el pie de la altura de $A$. La bisectriz perpendicular del segmento $AD$ interseca a las semicircunferencias de diámetro $AB$ y $AC$ que se encuentran fuera del triángulo $ABC$ en $X$ e $Y$ respectivamente. Demuestre que los puntos $X,Y,D$ y $E$ se encuentran en un círculo.

Sea $p$ un número primo impar. Demuestre que existen enteros no negativos $x,y,z,t$ no todos los cuales son $0$ tales que $t<p$ y \[x^2+y^2+z^2=tp.\]