Para cualquier $n$ - tupla $a=(a_1,a_2,\ldots,a_n)\in\mathbb{N}_0^n$ de enteros no negativos, sea $d_a$ el número de pares de índices $(i,j)$ tales que $a_i-a_j=1.$ Determine el valor máximo posible de $d_a$ cuando $a$ varía sobre todos los elementos de $\mathbb{N}_0^n.$

Sea $p_i$ el $i^{\text{th}}$ número primo. Para cualquier entero positivo $k$ sea $a_k$ el número de enteros positivos $t$ tales que $p_tp_{t+1}$ divide a $k.$ Sea $n$ un entero positivo arbitrario. Demuestre que \[a_1+a_2+\cdots+a_n<\frac{n}{3}.\]

Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ dos círculos, internamente tangentes en $P$ ( $\mathcal{C}_2$ se encuentra dentro de $\mathcal{C}_1$ ) . Una cuerda $AB$ de $\mathcal{C}_1$ es tangente a $\mathcal{C}_2$ en $C.$ Sea $D$ el segundo punto de intersección entre la línea $CP$ y $\mathcal{C}_1.$ Una tangente desde $D$ a $\mathcal{C}_2$ interseca a $\mathcal{C}_1$ por segunda vez en $E$ e interseca a $\mathcal{C}_2$ en $F.$ Demuestre que $F$ es el incentro del triángulo $ABE.$

Sean $a\geq b\geq c\geq d$ números reales tales que $(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)=-3.$ Si $a+b+c+d=6,$ demuestre que $d<0,36.$ Si $a^2+b^2+c^2+d^2=14,$ demuestre que $(a+c)(b+d)\leq 8.$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sean $a,b,c>0$ tal que $a+b+c=3$ . Demuestre que : $$\frac{ab}{ab+a+b}+\frac{bc}{bc+b+c}+\frac{ca}{ca+c+a}+\frac{1}{9}\left(\frac{(a-b)^2}{ab+a+b}+\frac{(b-c)^2}{bc+b+c}+\frac{(c-a)^2}{ca+c+a}\right)\leq1.$$

Descomponga un cuadrado de $6\times 6$ en cuadrados unitarios y considere los $49$ vértices de estos cuadrados unitarios. Llamamos a un cuadrado bueno si sus vértices están entre los $49$ puntos y si sus lados y diagonales no se encuentran en las líneas de la cuadrícula del cuadrado de $6\times 6$. Encuentre el número total de cuadrados buenos. Demuestre que existen dos cuadrados buenos disjuntos tales que la distancia más pequeña entre sus vértices es $1/\sqrt{5}.$

Encuentre el entero positivo más grande $n$ tal que lo siguiente sea verdadero: Existen $n$ enteros positivos distintos $x_1,~x_2,\dots,x_n$ tal que cualesquiera que sean los números $a_1,~a_2,\dots,a_n\in\left\{-1,0,1\right\}$ , no todos nulos, el número $n^3$ no divide a $\sum_{k=1}^n a_kx_k$ .

Sean $M,N$ y $P$ los puntos medios de los lados $BC,CA$ y $AB$ respectivamente, del triángulo acutángulo $ABC.$ Sean $A',B'$ y $C'$ los antípodas de $A,B$ y $C$ en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC.$ En los segmentos abiertos $MA',NB'$ y $PC'$ consideramos puntos $X,Y$ y $Z$ respectivamente tales que \[\frac{MX}{XA'}=\frac{NY}{YB'}=\frac{PZ}{ZC'}.\] Demuestre que las líneas $AX,BY,$ y $CZ$ son concurrentes en algún punto $S.$ Demuestre que $OS<OG$ donde $O$ es el circuncentro y $G$ es el centroide del triángulo $ABC.$

Llamamos a un conjunto $A\subset \mathbb{R}$ libre de progresiones aritméticas si para todo $a,b,c\in A$ distintos tenemos que $a+b\neq 2c.$ Demuestre que el conjunto $\{0,1,2,\ldots 3^8-1\}$ tiene un subconjunto $A$ que está libre de progresiones aritméticas y tiene al menos $256$ elementos.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo $(AB<AC)$ con alturas $AD, BE,$ y $CF$ y ortocentro $H$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ y sea $X$ la segunda intersección del círculo con diámetro $HM$ y la línea $AM.$ Dado que las líneas $HX$ y $BC$ se intersecan en $T,$ demuestre que las circunferencias circunscritas de $\triangle TFD$ y $\triangle AEF$ son tangentes.