Sean $A,B\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ (matrices reales $2\times 2$), que satisfacen $A^{2}+B^{2}=AB$ . Pruebe que $(AB-BA)^{2}=O_{2}$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, escaleno con ortocentro $H$ . Sea $\ell_a$ la línea que pasa por el reflejo de $B$ con respecto a $CH$ y el reflejo de $C$ con respecto a $BH$ . Las líneas $\ell_b$ y $\ell_c$ se definen de manera similar. Suponga que las líneas $\ell_a$ , $\ell_b$ y $\ell_c$ determinan un triángulo $\mathcal T$ . Demuestre que el ortocentro de $\mathcal T$ , el circuncentro de $\mathcal T$ y $H$ son colineales.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos mayores que $1$ . En cada cuadrado unitario de una cuadrícula de $m\times n$ se encuentra una moneda con su lado de cruz hacia arriba. Un movimiento consta de los siguientes pasos: seleccione un cuadrado de $2\times 2$ en la cuadrícula; voltee las monedas en los cuadrados unitarios superior izquierdo e inferior derecho; voltee la moneda en el cuadrado unitario superior derecho o inferior izquierdo. Determine todos los pares $(m,n)$ para los cuales es posible que cada moneda muestre el lado de cara hacia arriba después de un número finito de movimientos.

Sea $n\geqslant 2$ un entero positivo. Paul tiene una tira rectangular de $1\times n^2$ que consta de $n^2$ cuadrados unitarios, donde el $i^{\text{th}}$ cuadrado está etiquetado con $i$ para todo $1\leqslant i\leqslant n^2$ . Desea cortar la tira en varias piezas, donde cada pieza consta de una serie de cuadrados unitarios consecutivos, y luego trasladar (sin rotar ni voltear) las piezas para obtener un cuadrado de $n\times n$ que satisfaga la siguiente propiedad: si el cuadrado unitario en la $i^{\text{th}}$ fila y $j^{\text{th}}$ columna está etiquetado con $a_{ij}$ , entonces $a_{ij}-(i+j-1)$ es divisible por $n$ . Determine el número más pequeño de piezas que Paul necesita hacer para lograr esto.

Una secuencia de enteros $a_0, a_1 …$ se llama kawaii si $a_0 =0, a_1=1,$ y $$(a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n)(a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n)=0$$ para todos los enteros $n \geq 0$ . Un entero se llama kawaii si pertenece a alguna secuencia kawaii. Suponga que dos enteros consecutivos $m$ y $m+1$ son ambos kawaii (no necesariamente pertenecientes a la misma secuencia kawaii). Demuestre que $m$ es divisible por $3,$ y que $m/3$ también es kawaii.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncirculo $\omega$ y circuncentro $O$ . Los puntos $D\neq B$ y $E\neq C$ se encuentran en $\omega$ tales que $BD\perp AC$ y $CE\perp AB$ . Sea $CO$ se encuentra con $AB$ en $X$ , y $BO$ se encuentra con $AC$ en $Y$ . Demuestre que los circuncirculos de los triángulos $BXD$ y $CYE$ tienen una intersección que se encuentra en la línea $AO$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncirculo $\omega$ . Un círculo $\Gamma$ es internamente tangente a $\omega$ en $A$ y también tangente a $BC$ en $D$ . Sean $AB$ y $AC$ intersecan a $\Gamma$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Sean $M$ y $N$ puntos en la línea $BC$ tales que $B$ es el punto medio de $DM$ y $C$ es el punto medio de $DN$ . Las líneas $MP$ y $NQ$ se encuentran en $K$ e intersecan a $\Gamma$ nuevamente en $I$ y $J$ respectivamente. El rayo $KA$ se encuentra con el circuncirculo del triángulo $IJK$ nuevamente en $X\neq K$ . Demuestre que $\angle BXP = \angle CXQ$ .

Sea $\mathbb R_{>0}$ el conjunto de los números reales positivos. Determine todas las funciones $f \colon \mathbb R_{>0} \to \mathbb R_{>0}$ tales que \[x \left(f(x) + f(y)\right) \geqslant \left(f(f(x)) + y\right) f(y)\] para todo $x, y \in \mathbb R_{>0}$ .

Determine la longitud máxima $L$ de una secuencia $a_1,\dots,a_L$ de enteros positivos que satisfaga ambas propiedades siguientes: cada término en la secuencia es menor o igual que $2^{2023}$, y no existe una subsecuencia consecutiva $a_i,a_{i+1},\dots,a_j$ (donde $1\le i\le j\le L$ ) con una elección de signos $s_i,s_{i+1},\dots,s_j\in\{1,-1\}$ para la cual \[s_ia_i+s_{i+1}a_{i+1}+\dots+s_ja_j=0.\]

Determine todos los pares ordenados $(a,p)$ de enteros positivos, con $p$ primo, tales que $p^a+a^4$ es un cuadrado perfecto.