El plano está dividido en franjas de ancho $1$ por líneas paralelas (una franja - la región entre dos líneas paralelas). Los puntos del interior de cada franja están coloreados con rojo o blanco, de modo que en cada franja solo se usa un color (los puntos de una franja están coloreados con el mismo color). Los puntos de las líneas no están coloreados. Demuestre que existe un triángulo equilátero de lado $100$ , con todos los vértices del mismo color.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y el punto $M$ elegido diferente de $A,B,C$ . Pruebe que $M$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ si y solo si \[\frac{BC}{MA}\vec{MA}+\frac{CA}{MB}\vec{MB}+\frac{AB}{MC}\vec{MC}= \vec{0}\]

Sean $a, b, c, d \in \mathbb{N^{*}}$ tales que la ecuación \[x^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+1)x+ab+bc+cd+da=0 \] tiene una solución entera. Pruebe que la otra solución también es entera y ambas soluciones son cuadrados perfectos.

Sea $n\geq 3$ un entero y $S_{n}$ el grupo de permutaciones. $G$ es un subgrupo de $S_{n}$ , generado por $n-2$ transposiciones. Para todo $k\in\{1,2,\ldots,n\}$ , denote por $S(k)$ el conjunto $\{\sigma(k) : \sigma\in G\}$ . Demuestre que para cualquier $k$ , $|S(k)|\leq n-1$ .

Sea $n\geq 1$ un entero. Encuentre todos los anillos $(A,+,\cdot)$ tales que todo $x\in A\setminus\{0\}$ satisface $x^{2^{n}+1}=1$ .

Sea $f: [0,1]\rightarrow(0,+\infty)$ una función continua. a) Demuestre que para cualquier entero $n\geq 1$ , existe una única división $0=a_{0}<a_{1}<\ldots<a_{n}=1$ tal que $\int_{a_{k}}^{a_{k+1}}f(x)\, dx=\frac{1}{n}\int_{0}^{1}f(x)\, dx$ se cumple para todo $k=0,1,\ldots,n-1$ . b) Para cada $n$ , considere los $a_{i}$ anteriores (que dependen de $n$ ) y defina $b_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}{n}$ . Demuestre que la secuencia $(b_{n})$ es convergente y calcule su límite.

Sea $\mathcal{F}$ el conjunto de funciones $f: [0,1]\to\mathbb{R}$ que son diferenciables, con derivada continua, y $f(0)=0$ , $f(1)=1$ . Encuentre el mínimo de $\int_{0}^{1}\sqrt{1+x^{2}}\cdot \big(f'(x)\big)^{2}\ dx$ (donde $f\in\mathcal{F}$ ) y encuentre todas las funciones $f\in\mathcal{F}$ para las cuales se alcanza este mínimo.

Sea $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ una función diferenciable con derivada continua, que satisface $f\big(x+f'(x)\big)=f(x)$ . Llamemos a esta propiedad $(P)$ . a) Demuestre que si $f$ es una función con la propiedad $(P)$ , entonces existe un $x$ real tal que $f'(x)=0$ . b) Dé un ejemplo de una función no constante $f$ con la propiedad $(P)$ . c) Demuestre que si $f$ tiene la propiedad $(P)$ y la ecuación $f'(x)=0$ tiene al menos dos soluciones, entonces $f$ es una función constante.

Sea $n\geq 2$ un entero y denotemos por $H_{n}$ el conjunto de vectores columna $^{T}(x_{1},\ x_{2},\ \ldots, x_{n})\in\mathbb{R}^{n}$ , tales que $\sum |x_{i}|=1$ . Pruebe que existe solo un número finito de matrices $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ tales que la función lineal $f: \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ dada por $f(x)=Ax$ tiene la propiedad $f(H_{n})=H_{n}$ .

Sea $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función continua, y $a<b$ dos puntos en la imagen de $f$ (es decir, existen $x,y$ tales que $f(x)=a$ y $f(y)=b$ ) . Demuestre que existe un intervalo $I$ tal que $f(I)=[a,b]$ .