Pruebe que el número $ 10^{10}$ no puede escribirse como el producto de dos números naturales que no contienen el dígito ' $ 0$ ' en su representación decimal.

Sean $ m,n$ dos números naturales con $ m > 1$ y $ 2^{2m + 1} - n^2\geq 0$ . Pruebe que: \[ 2^{2m + 1} - n^2\geq 7 .\]

Considere el triángulo $ ABC$ con $ m(\angle BAC) = 90^\circ$ y $ AB < AC$ . Sea un punto $ D$ en el lado $ AC$ tal que: $ m(\angle ACB) = m(\angle DBA)$ . Sea $ E$ un punto en el lado $ BC$ tal que $ DE\perp BC$ . Se sabe que $ BD + DE = AC$ . Encuentre las medidas de los ángulos en el triángulo $ ABC$ .

Considere el triángulo $ ABC$ con $ m(\angle BAC = 90^\circ)$ y $ AC = 2AB$ . Sean $ P$ y $ Q$ los puntos medios de $ AB$ y $ AC$ , respectivamente. Sean $ M$ y $ N$ dos puntos encontrados en el lado $ BC$ tales que $ CM = BN = x$ . También se sabe que $ 2S[MNPQ] = S[ABC]$ . Determine $ x$ en función de $ AB$ .

En un triángulo $ ABC$ , donde $ a = BC$ , $ b = CA$ y $ c = AB$ , se sabe que: $ a + b - c = 2$ y $ 2ab - c^2 = 4$ . Pruebe que $ ABC$ es un triángulo equilátero.

a) Para un conjunto finito de números naturales $S$ , denote por $S+S$ el conjunto de números $z=x+y$ , donde $x,y\in S$ . Sea $m=|S|$ . Demuestre que $|S+S|\leq \frac{m(m+1)}{2}$ . b) Sea $m$ un entero positivo fijo. Denote por $C(m)$ el entero más grande $k\geq 1$ para el cual existe un conjunto $S$ de $m$ enteros, tal que $\{1,2,\ldots,k\}\subseteq S\cup(S+S)$ . Por ejemplo, $C(3)=8$ , con $S=\{1,3,4\}$ . Demuestre que $\frac{m(m+6)}{4}\leq C(m) \leq \frac{m(m+3)}{2}$ .

¿Para qué enteros $n\geq 2$ , el número $(n-1)^{n^{n+1}}+(n+1)^{n^{n-1}}$ es divisible por $n^{n}$ ?

Resuelva la ecuación \[2^{x^{2}+x}+\log_{2}x = 2^{x+1}\]

Demuestre que la ecuación $z^{n}+z+1=0$ tiene una solución con $|z|=1$ si y solo si $n-2$ es divisible por $3$ .

Dado un conjunto $A$ y una función $f: A\rightarrow A$ , denotamos por $f_{1}(A)=f(A)$ , $f_{2}(A)=f(f_{1}(A))$ , $f_{3}(A)=f(f_{2}(A))$ , y así sucesivamente, ( $f_{n}(A)=f(f_{n-1}(A))$ , donde la notación $f(B)$ significa el conjunto $\{ f(x) : x\in B\}$ de imágenes de puntos de $B$ ) . Denotamos también por $f_{\infty}(A)=f_{1}(A)\cap f_{2}(A)\cap \ldots = \bigcap_{n\geq 1}f_{n}(A)$ . a) Demuestre que si $A$ es finito, entonces $f(f_{\infty}(A))=f_{\infty}(A)$ . b) Determine si lo anterior es cierto para $A=\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ y la función \[f\big((m,n)\big)=\begin{cases}(m+1,n) & \mbox{si }n\geq m\geq 1 \\ (0,0) & \mbox{si }m>n \\ (0,n+1) & \mbox{si }n=0. \end{cases}\]