Demuestra que: (a) Si $(a_n)_{n\geq 1}$ es una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos tal que $\frac{a_{2n-1}+a_{2n}}{a_n}$ es una constante cuando $n$ recorre todos los enteros positivos, entonces esta constante es un entero mayor o igual que $4$ ; y (b) Dado un entero $N\geq 4$ , existe una secuencia estrictamente creciente $(a_n)_{n\geq 1}$ de enteros positivos tal que $\frac{a_{2n-1}+a_{2n}}{a_n}=N$ para todos los índices $n$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $M$ el punto medio de $AC$ . Un círculo $\omega$ que pasa por $B$ y $M$ se encuentra con los lados $AB$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Sea $T$ el punto tal que $BPTQ$ es un paralelogramo. Supón que $T$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Determina todos los valores posibles de $\frac{BT}{BM}$ .

Dados enteros positivos $k$ y $m$ , demuestra que $m$ y $\binom{n}{k}$ son coprimos para infinitamente muchos enteros $n\geq k$ .

Determina los enteros $k\geq 2$ para los cuales la secuencia $\Big\{ \binom{2n}{n} \pmod{k}\Big\}_{n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}}$ es eventualmente periódica.

Sea $n$ un entero positivo, y sean $a_1,a_2,..,a_n$ enteros positivos distintos dos a dos. Muestra que $$\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{[a_1,a_2,…,a_k]}} <4,$$ donde $[a_1,a_2,…,a_k]$ es el mínimo común múltiplo de los enteros $a_1,a_2,…,a_k$ .

Sea $n$ un entero positivo, y sean $S_1,S_2,…,S_n$ una colección de conjuntos finitos no vacíos tales que $$\sum_{1\leq i<j\leq n}{\frac{|S_i \cap S_j|}{|S_i||S_j|}} <1.$$ Demuestra que existen elementos distintos dos a dos $x_1,x_2,…,x_n$ tales que $x_i$ es un miembro de $S_i$ para cada índice $i$ .

Dos círculos, $\omega_1$ y $\omega_2$ , con centros en $O_1$ y $O_2$ , respectivamente, se encuentran en los puntos $A$ y $B$ . Una línea que pasa por $B$ se encuentra con $\omega_1$ nuevamente en $C$ , y con $\omega_2$ nuevamente en $D$ . Las tangentes a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $C$ y $D$ , respectivamente, se encuentran en $E$ , y la línea $AE$ se encuentra con el círculo $\omega$ que pasa por $A, O_1,O_2$ nuevamente en $F$ . Demuestra que la longitud del segmento $EF$ es igual al diámetro de $\omega$ .

Sea $ ABCD$ un tetraedro. Pruebe que si un punto $ M$ en un espacio satisface la relación: \begin{align*} MA^2 + MB^2 + CD^2 &= MB^2 + MC^2 + DA^2 \\ &= MC^2 + MD^2 + AB^2 \\ &= MD^2 + MA^2 + BC^2 . \end{align*} entonces se encuentra en la perpendicular común de las líneas $ AC$ y $ BD$ .

a) En un triángulo $ MNP$ , las longitudes de los lados son menores que $ 2$ . Pruebe que la longitud de la altura correspondiente al lado $ MN$ es menor que $ \sqrt {4 - \frac {MN^2}{4}}$ . b) En un tetraedro $ ABCD$ , al menos $ 5$ aristas tienen sus longitudes menores que $ 2$ . Pruebe que el volumen del tetraedro es menor que $ 1$ .

En un edificio hay 6018 escritorios en 2007 habitaciones, y en cada habitación hay al menos un escritorio. Cada habitación puede ser despejada dividiendo los escritorios en las otras habitaciones de tal manera que en cada habitación haya la misma cantidad de escritorios. Averigüe qué métodos se pueden usar para dividir los escritorios inicialmente.