Un niño puso los números del 1 al 9 en un tablero de $3\times 3$ de manera que cada número se usó una vez. Para cada renglón, él coloreó la mediana de los tres números en ese renglón y se dio cuenta que la mediana de los tres números coloreados es 5. ¿De cuántas maneras se pudo haber llenado el tablero? Nota. La mediana de tres números es el que está en medio; es decir, si los números son $a$, $b$ y $c$ y $a < b < c$ entonces $b$ es la mediana.

Encontrar una terna $(a, b, c)$ de enteros positivos que cumplan $2a = 3b = 5c$ y que $a^2 + b^2 + c^2$ sea el cubo de un número entero.

Los círculos $C$ y $D$ de la figura se intersectan en $A$ y $B$. El diámetro $CA$ de $C$ es tangente a $D$ en $A$, y $D$ es el punto en $D$ tal que $C$, $B$ y $D$ están alineados. Si $|BD| = 3$ y $|AC| = 2$, ¿cuál es el área de $D$? [image]

Encontrar una terna $(a, b, c)$ de enteros positivos que cumplan $ab + c = 34$ y $a + bc = 29$.

El número que abre un candado está formado por 4 dígitos distintos. ¿Cuál es el número si cada uno de los números siguientes tiene una cifra incorrecta y otra fuera de su lugar? $6427 \quad 4271 \quad 6412 \quad 2671$

¿De cuántas formas es posible llegar del punto $A$ al punto $B$ siguiendo las líneas de la figura si sólo se puede ir hacia abajo y hacia los lados (es decir, en las direcciones marcadas por las flechas en el esquema) pero sin pasar dos veces por el mismo punto? [image]

El área del triángulo $ABC$ es igual a $40 ext{ cm}^2$. Los puntos $D$, $E$ y $F$ cumplen que $BD = 3AD$, $CE = 3BE$ y $AF = 3CF$. ¿Cuál es el área del triángulo $DEF?$ [image]

Una sucesión de números enteros positivos consecutivos se llama balanceada si contiene la misma cantidad de múltiplos de $3$ que de múltiplos de $5$. ¿Cuál es la máxima cantidad de términos que puede tener una sucesión balanceada?

Un papel cuadriculado de $4 \times 7$ como el que se muestra a la derecha se va a cortar con unas tijeras siguiendo algunas líneas de la cuadrícula. Se va a empezar en el borde inferior y se terminará en el borde superior, siempre hacia arriba y hacia los lados pero no hacia abajo, y no es válido empezar (ni terminar) por un lado. ¿De cuántas formas es posible hacerlo si las dos partes deben quedar con la misma área? (Nota: Por ejemplo, un corte como el que se muestra abajo a la izquierda es válido, pero el central y el de la derecha no lo son.) [image]

Romeo no se acuerda del número secreto de su caja fuerte. Sólo recuerda que es un número de 7 cifras, que usa cada uno de los dígitos $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ exactamente una vez, y que es el menor número que cumple que la suma de cada 3 cifras consecutivas no es múltiplo ni de 2 ni de 3. ¿Cuál es el número secreto de su caja fuerte?