Sea $p$ un número primo. Demostrar que no hay ningún número divisible por $p$ en la fila $n-ésima$ del triángulo de Pascal si y solo si $n$ puede representarse en la forma $n = p^sq - 1$ , donde $s$ y $q$ son enteros con $s \geq 0, 0 < q < p$.

Tres puntos $A,B,C$ son tales que $B \in ]AC[$. En el lado de $AC$ dibujamos los tres semicírculos con diámetros $[AB], [BC]$ y $[AC]$. La tangente interior común en $B$ a los dos primeros semicírculos se encuentra con el tercer círculo en $E$. Sean $U$ y $V$ los puntos de contacto de la tangente exterior común a los dos primeros semicírculos. Denotemos el área del triángulo $ABC$ como $S(ABC)$. Evaluar la razón $R=\frac{S(EUV)}{S(EAC)}$ como una función de $r_1 = \frac{AB}{2}$ y $r_2 = \frac{BC}{2}$.

La función $f$ está definida en el conjunto $\mathbb{Q}$ de todos los números racionales y tiene valores en $\mathbb{Q}$. Satisface las condiciones $f(1) = 2$ y $f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) + 1$ para todo $x,y \in \mathbb{Q}$. Determinar $f$.

Hallar los dígitos a la izquierda y a la derecha del punto decimal en la forma decimal del número \[ (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{1980}. \]

En un sistema de coordenadas rectangulares, llamamos triangular a una línea horizontal paralela al eje $x$ si interseca la curva con ecuación\n\[y = x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s\]\nen los puntos $A,B,C$ y $D$ (de izquierda a derecha) de tal manera que los segmentos $AB, AC$ y $AD$ son los lados de un triángulo. Demuestra que las líneas paralelas al eje $x$ que intersecan la curva en cuatro puntos distintos son todas triangulares o ninguna de ellas es triangular.

Determina todos los enteros positivos $n$ tales que la siguiente afirmación sea verdadera: Si un polígono convexo con $2n$ lados $A_1 A_2 \ldots A_{2n}$ está inscrito en un círculo y $n-1$ de sus $n$ pares de lados opuestos son paralelos, lo que significa que si los pares de lados opuestos\n\[(A_1 A_2, A_{n+1} A_{n+2}), (A_2 A_3, A_{n+2} A_{n+3}), \ldots , (A_{n-1} A_n, A_{2n-1} A_{2n})\]\nson paralelos, entonces los lados\n\[ A_n A_{n+1}, A_{2n} A_1\]\nson paralelos también.

Demuestra que la ecuación\n\[ x^n + 1 = y^{n+1}, \]\ndonde $n$ es un entero positivo no menor que 2, no tiene soluciones enteras positivas en $x$ e $y$ para las cuales $x$ y $n+1$ son relativamente primos.

Define los números $a_0, a_1, \ldots, a_n$ de la siguiente manera:\n\[ a_0 = \frac{1}{2}, \quad a_{k+1} = a_k + \frac{a^2_k}{n} \quad (n > 1, k = 0,1, \ldots, n-1). \]\nDemuestra que\n\[ 1 - \frac{1}{n} < a_n < 1.\]

Sean $\alpha, \beta$ y $\gamma$ los ángulos del triángulo $ABC$. La bisectriz perpendicular de $AB$ interseca a $BC$ en el punto $X$, la bisectriz perpendicular de $AC$ lo interseca en $Y$. Demuestra que $\tan(\beta) \cdot \tan(\gamma) = 3$ implica $BC= XY$ (o en otras palabras: Demuestra que una condición suficiente para $BC = XY$ es $\tan(\beta) \cdot \tan(\gamma) = 3$). Demuestra que esta condición no es necesaria, y da una condición necesaria y suficiente para $BC = XY$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncírculo $\Gamma$. Sea $\ell$ una línea tangente a $\Gamma$, y sean $\ell_a, \ell_b$ y $\ell_c$ las líneas obtenidas al reflejar $\ell$ en las líneas $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Demuestre que el circuncírculo del triángulo determinado por las líneas $\ell_a, \ell_b$ y $\ell_c$ es tangente al círculo $\Gamma$.