Hallar el mayor número natural $n$ tal que existen números naturales $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ y naturales $a_{1}< a_{2}< \ldots < a_{n-1}$ que satisfacen las siguientes ecuaciones para $i =1,2,\ldots,n-1$ : \[x_{1}x_{2}\ldots x_{n}= 1980 \quad \text{y}\quad x_{i}+\frac{1980}{x_{i}}= a_{i}.\]

Dada una sucesión $\{a_n\}$ de números reales tal que $|a_{k+m} - a_k - a_m| \leq 1$ para todos los enteros positivos $k$ y $m$ , demostrar que, para todos los enteros positivos $p$ y $q$ , \[|\frac{a_p}{p} - \frac{a_q}{q}| < \frac{1}{p} + \frac{1}{q}.\]

Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo y, para $1 \leq i \leq 3$ , sea $B_i$ un punto interior del lado opuesto a $A_i$ . Demostrar que las bisectrices perpendiculares de $A_iB_i$ para $1 \leq i \leq 3$ no son concurrentes.

Demostrar que $\sum \frac{1}{i_1i_2 \ldots i_k} = n$ se toma sobre todos los subconjuntos no vacíos $\left\{i_1,i_2, \ldots, i_k\right\}$ de $\left\{1,2,\ldots,n\right\}$ . (El $k$ no está fijo, por lo que estamos sumando sobre todos los $2^n-1$ posibles subconjuntos no vacíos.)

Pruebe que la suma de los seis ángulos subtendidos en un punto interior de un tetraedro por sus seis aristas es mayor que 540°.

Sea $\{x_n\}$ una secuencia de números naturales tales que \[(a) 1 = x_1 < x_2 < x_3 < \ldots; \quad (b) x_{2n+1} \leq 2n \quad \forall n.\]. Pruebe que, para cada número natural $k$ , existen términos $x_r$ y $x_s$ tales que $x_r - x_s = k.$

Dado tres progresiones aritméticas infinitas de números naturales tales que cada uno de los números 1,2,3,4,5,6,7 y 8 pertenece al menos a una de ellas, pruebe que el número 1980 también pertenece al menos a una de ellas.

Encuentra todos los pares de soluciones $(x,y)$ : \[ x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = 8(x^2 + xy + y^2 + 1). \]

Diez jugadores comenzaron a jugar con la misma cantidad de dinero. En cada turno, lanzan cinco dados. En cada etapa, el jugador que lanzó paga a cada uno de sus 9 oponentes $\frac{1}{n}$ veces la cantidad que ese oponente poseía en ese momento. Lanzaron y pagaron uno tras otro. En la décima ronda (es decir, cuando cada jugador ha lanzado los cinco dados una vez), los dados mostraron un total de 12, y después del pago resultó que cada jugador tenía exactamente la misma suma que al principio. ¿Es posible determinar el total mostrado por los dados en las nueve rondas anteriores?

Dos círculos $C_{1}$ y $C_{2}$ son (externa o internamente) tangentes en un punto $P$. La línea recta $D$ es tangente en $A$ a uno de los círculos y corta al otro círculo en los puntos $B$ y $C$. Demostrar que la línea recta $PA$ es una bisectriz interior o exterior del ángulo $\angle BPC$.